Una somma trigonometrica

[karl]

Esprimere in forma chiusa la somma:
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/imp3.bmp"><!-- BBCode End -->
<BR>dove alfa e\' un angolo assegnato ed n variabile in N/{0}
<BR>Eventualmente della stessa somma se ne determini
<BR>il limite per n--->+inf.

[andrea84]

Maria ma te li sogni la notte \'sti esercizi? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

[karl]

Spero che \"Maria\" stia per \"Mamma mia\" :non vorrei
<BR>che qualcuno pensasse che da Lorenzo sono diventato
<BR>una maria!!
<BR>Poiche\' siamo in clima natalizio voglio essere buono e
<BR>ti do un piccolo aiuto:
<BR>2cot(2*alfa)-cot(alfa)=-tan(alfa) etc,etc
<BR>Ciao.

[talpuz]

già, sembrava qualcosa di simile a una telescopica
<BR>
<BR>mi sembra di ricordare un problema IMO molto simile... possibile??

[karl]

Non so se e\' simile a qualche IMO;l\'ho arrangiato io
<BR>prendendo spunto da certe identita\' trigonometriche.
<BR>\"Audaces fortuna iuvat\"
<BR>[Il mio latino e\' tutto in proverbi!]

[Cu_Fa]

Dovrebbe essere 1/alfa a meno che non mi sia completamente rin******nito(cosa molto probabile).Se ho tempo posto il procedimento domani

[info]

Colgo il suggerimento e completo...
<BR>
<BR>tg(alfa)=-2cot(2*alfa)+cot(alfa)
<BR>cambiando l\'angolo alfa in alfa/2 o qualcosa di simile e moltplicando entrambi i membri escono fuori identità da usare nei calcoli...
<BR>
<BR>-->2*ctg(2a)+tg(a)=ctg(a)
<BR>
<BR>f(2)=ctg(a)+1/2*tg(a/2)=1/2*ctg(a/2)
<BR>f(3)=f(2)+1/4*tg(a/4)=1/4*ctg(a/4)
<BR>
<BR>per induzione si provà che
<BR>
<BR>f(n)=[1/2^(n-1)]*ctg(a/2^(n-1))
<BR>
<BR>esprimendo la ctg come rapporto tra seno e coseno il limite per n-->inf diventa l\'inverso di questo:
<BR>
<BR>lim[n-->inf] sen(a/2^n)*2^n
<BR>
<BR>ma è
<BR>
<BR>lim[n-->inf] sen(a/2^n)/[a/2^n] =1
<BR>limite notevole
<BR>cioè
<BR>lim[n-->inf] sen(a/2^n)*2^n = lim[n-->inf]a = a
<BR>
<BR>il risultato è quindi 1/alfa...
<BR>
<BR>Ora mi spiegate cosa è una serie telescopica?
<BR>
<BR>p.s.:Se è corretto, nn era certo un IMO ma solo un esercizio molto carino!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 21-12-2004 21:52 ]

[info]

ehm...Cu_fa, nn avevo visto il tuo msg!

[karl]

@Info.
<BR>Risultato esatto;volendo, il limite si puo\' ottenere
<BR>direttamente osservando che:
<BR>[1/2^(n-1)]*ctg(a/2^(n-1)) =1/a*[a/2^(n-1)/tg(a/2^(n-1))]
<BR>e poi ricorrere al limite noto lim[x-->0]x/tgx=1
<BR>dove ,nel nostro caso,x sta per a/2^(n-1).
<BR>ciao.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 22-12-2004 19:06 ]

[Marco]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-21 21:45, info wrote:
<BR>Ora mi spiegate cosa è una serie telescopica?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ciao. Buon Natale a tutti...
<BR>
<BR>Una serie telescopica è una serie in cui un termine cancella il preedente (o parte del precedente. Questo consente di semplificare i conti e, spesso, di sommare la serie.
<BR>
<BR>Esempio:
<BR>
<BR>Dimostrare che
<BR>sum_{n >= 1} 1/n(n+1) = 1.
<BR>
<BR>Dim.: <font color=white>Se scrivi 1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1), allora la somma parziale fino a N è
<BR>(1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/N - 1/(N+1)) = 1 - 1/N.
<BR>
<BR>Facendo tendere N all\'infinito, si ottiene 1. </font> []
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.[addsig]

[MindFlyer]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-24 21:25, marco wrote:
<BR>sum_{n >= 1} 1/n(n+1) = 1.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Detta anche serie di Mengoli. Così, giusto per informazione. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

[karl]

Tanto per gradire ve ne piazzo un\'altra (che dovrebbe
<BR>essere facile per chi ...ha buona memoria!)
<BR>Dimostrare (senza l\'ausilio delle calcolatrici,of course) che si ha:
<BR><!-- BBCode Start --><B>1/cos²(2*Pi/9)+1/cos²(4*Pi/9)+1/cos²(6*Pi/9)+1/cos²(8*Pi/9)=40</B><!-- BBCode End -->