Dedicato a chi ama i calcoli

[psion_metacreativo]

Dimostrare che per ogni n naturale, n>=5 vale:
<BR>
<BR>sum(i=1...n)[(i^5)/5!]> bin(n+1 6)
<BR>
<BR>dove bin(a b) è il coefficente binomiale di a su b.

[karl]

Premetto che di somme di potenze di interi consecutivi
<BR>ne hanno parlato molti di noi (tra i quali io stesso anche se
<BR>mi riesce difficile ricordare o cercare il post specifico
<BR>legato ai numeri di Bernoulli)
<BR>Anyway ecco la formula adatta allo scopo presente:
<BR>1^5+2^5+...+n^5=n^2*(n+1)^2*(2n^2+2n-1)/12
<BR>Si tratta quindi di dimostrare che,per n>=5,risulta:
<BR>n^2*(n+1)^2*(2n^2+2n-1)/(12*5!)>(n+1)(n)(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/6!
<BR>od anche (con qualche calcolo):
<BR>n(n+1)(2n^2+2n-1)>(n-4)(n-3)(2n^2-6n+4)
<BR>Ora e\' certamente n>n-4 ,n+1>n-3
<BR>mentre riesce 2n^2+2n-1>2n^2-6n+4 per n>5/8
<BR>condizione sicuramente soddisfatta essendo per ipotesi n>4
<BR>e quindi la relazione e\' verificata.
<BR>
<BR>

[psion_metacreativo]

ok Karl. Rilancio con la versione generale:
<BR>
<BR>Dimostrare che per ogni n, m numeri naturali tali che n>= m vale la relazione:
<BR>
<BR>Sum(i=1...n)[(i^m)/m!]>= bin(n+1 m+1)

[karl]

Ci provo.... stanotte.
<BR>Ciao.

[karl]

<!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/simo.bmp"><!-- BBCode End -->

[psion_metacreativo]

Stavo leggendo la tua risposta karl ma devo dire che non mi torna già la prima riga:
<BR>
<BR>quando asserisci:
<BR>
<BR>p^m+1 - (p-1)^m+1= sum(1=0...m)[p^(m-i)*(p-1)^i]
<BR>
<BR>questa non è un identità prova per esempio con m=3.

[karl]

Con m=3 si ha:
<BR>p^4-(p-1)^4=p^4-p^4+4p^3-6p^2+4p-1=<!-- BBCode Start --><B>4p^3-6p^2+4p-1</B><!-- BBCode End -->
<BR>sum(i=0...3)[p^(3-i)*(p-1)^i] =p^3+p^2*(p-1)+p(p-1)^2+(p-1)^3=<!-- BBCode Start --><B>4p^3-6p^2+4p-1</B><!-- BBCode End -->
<BR>Sono partito dall\'identita\' elementare:
<BR>a^(p+1)-b^(p+1)=(a-b)[a^p+a^(p-1)*b+a^(p-2)*b^2+....+a*b^(p-1)+b^p]
<BR>ciao.
<BR>

[psion_metacreativo]

ok scusa tutto a posto.
<BR>Io invece fondamentalmente avevo dimostrato che
<BR>sum(i=1...n)[i^m]=m!*(n+1 m+1)+a*(n+1 m)+b*(n+1 m-1)+...+l*(n+1 3)+1*(n+1 2)
<BR>per qualche a,b...l numeri naturali e quindi da quell\'uguaglianza segue la tesi.