problemino leggermente tecnico, che ho trovato molto carino...
<BR>...prego chi lo trovasse facile di non postare la soluzione, visto che lo ritengo all\'altezza di molti, se non di tutti.
<BR>[se poi nessun altro rispondesse in tempo ragionevole, fatevi pure avanti]
<BR>dunque...
<BR>se g e -g sono generatori modulo p (con p primo), cosa si può dire su p?
<BR>
<BR>ricordiamo per il gentile pubblico poco esperto, che g è un generatore modulo p se e solo se g, g<sup>2</sup>,...,g<sup>p-1</sup> sono tutti distinti modulo p.
[N] generatori e generati
Moderatore: tutor
EDIT: Stronzata, strano... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 20-12-2004 19:48 ]
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
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Simo_the_wolf
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Finalmente un problema di Teoria dei numeri alla mia portata (spero... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> ) allora.
<BR>Se p=2, la condizione è banale. Supponiamo quindi p diverso da 2
<BR>Se -g è un generatore alora esiste k primo con p-1 tale che g<sup>k</sup>=-g (mod p), cioè g<sup>k-1</sup>=-1 (mod p).
<BR>Ora, poichè p-1 è pari, k che è primo con p-1 deve essere dispari. Quindi g<sup>k-1</sup> è un quadrato e quindi -1 è un residuo quadratico mod p. Infine, poichè gli unici primi per cui -1 è residuo quadratico sono quelli della forma 4m+1, possiamo dedurre che p è di questa forma.
<BR>Speriamo bene...[addsig]
<BR>Se p=2, la condizione è banale. Supponiamo quindi p diverso da 2
<BR>Se -g è un generatore alora esiste k primo con p-1 tale che g<sup>k</sup>=-g (mod p), cioè g<sup>k-1</sup>=-1 (mod p).
<BR>Ora, poichè p-1 è pari, k che è primo con p-1 deve essere dispari. Quindi g<sup>k-1</sup> è un quadrato e quindi -1 è un residuo quadratico mod p. Infine, poichè gli unici primi per cui -1 è residuo quadratico sono quelli della forma 4m+1, possiamo dedurre che p è di questa forma.
<BR>Speriamo bene...[addsig]
"Non è certo che tutto sia incerto"(B. Pascal)
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
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io ne avevo trovata un\'altra:
<BR>g e -g, elevati ad esponenti pari danno lo stesso resto mod p, ed elevati ad esponenti dispari danno resti opposti.
<BR>Ora,essendo generatori, sia g<sup>(p-1)/2</sup> che (-g)<sup>(p-1)/2</sup> danno come resto -1 (perchè p-1 è pari).
<BR>Da quanto detti sopra, quindi, (p-1)/2 deve essere pari:
<BR>(p-1)/2=2k
<BR>p-1=4k
<BR>p=4k+1
<BR>g e -g, elevati ad esponenti pari danno lo stesso resto mod p, ed elevati ad esponenti dispari danno resti opposti.
<BR>Ora,essendo generatori, sia g<sup>(p-1)/2</sup> che (-g)<sup>(p-1)/2</sup> danno come resto -1 (perchè p-1 è pari).
<BR>Da quanto detti sopra, quindi, (p-1)/2 deve essere pari:
<BR>(p-1)/2=2k
<BR>p-1=4k
<BR>p=4k+1