<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-01 18:54, info wrote:
<BR>Potete smontarmi la mia ultima sol? Ha altri difetti a parte quello di nn considerare che le aree dei cerchiolini possano uscire dal cerchio grosso? E\' molto diverso il tuo approccio fph?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Non eccessivamente... l\'\"idea base\" che serve l\'hai gia\' tirata fuori, ma sei andato un po\' \"fuori strada\" con i ragionamenti successivi: insisti sull\'idea che quei quadrati sembrano delle aree...
<BR>meglio che non dica altro se no rischio che passi piu\' tempo a interpretare i miei suggerimenti che a risolvere il problema <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> e ciò è male.
<BR>
<BR>ciao,
<BR>--federico
[DG] Punti e distanze in un cerchio
Moderatore: tutor
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MindFlyer
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-03 17:56, psion_metacreativo wrote:
<BR>Va interpretato (come sospettavo da un abbozzo di soluzione che ho provato a fare) nel che senso che in realtà 2005 è un numero così a caso e potevi dire n qualsiasi?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>No, 2005 è l\'anno in cui viviamo, non è un numero così a caso.
<BR>On 2005-01-03 17:56, psion_metacreativo wrote:
<BR>Va interpretato (come sospettavo da un abbozzo di soluzione che ho provato a fare) nel che senso che in realtà 2005 è un numero così a caso e potevi dire n qualsiasi?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>No, 2005 è l\'anno in cui viviamo, non è un numero così a caso.
Io provo con questa risoluzione:
<BR>Essendo per forza il centro \"o\" uno dei 2004 punti, è chiaro che la massima distanza tra due punti è r=1. Provo ora a disporre più punti nel modo più \"conveniente\", cioè cercando di far risultare massima la somma dei quadrati delle distanze minime; fino a 7 punti non c\'è problema: 1 al centro e 6 sulla circonferenza a formare un esagono, per cui S=7. Ora devo piazzare l\' ottavo punto: esso può finire in 4 posti diversi: a)su uno dei vertici dell\'esagono (o sul centro) b)all\'interno dell\'esagono c)all\'esterno dell\'esagono d) su un lato o su una diagonale dell\'esagono.
<BR>Vediamo cosa succede in ognuno dei casi:
<BR>a) p su un vertice o sul centro, S=6 (1+1+1+1+1+1+0+0)
<BR>b) p all’interno dell’esagono: S=(1+1+1+1+x^2+y^2+z^2+x^2) .Considero il triangolo equilatero (1/6 dell’esagono) che contiene il punto; esso viene diviso in tre triangoli ottusangoli T1, T2 e T3 che hanno i rispettivi lati: T1:1,x,y ; T2:1,x,z ; T3:1, y,z.
<BR>Essendo ottusangoli, il quadrato del loro lato maggiore (1) è superiore alla somma dei quadrati degli altri due lati. Confrontiamo ora questa disposizione b) con l’opzione a): perché la a risulti vantaggiosa, si dovrà avere: 2 > 2x^2+y^2+z^2. x^2 è infatti minore sia di y^2 che di z^2. per questo si avrà: 1>y^2+z^2 e 1>2x, da cui , sommando:
<BR>2>2x^2+y^2+z^2. E’ quindi dimostrato che la configurazione a) è più conveniente della b).
<BR>c) la stessa cosa vale per un punto esterno all’esagono, infatti, chiamati x e y le distanze di quel punto dai due vertici dell’ esagono più vicini, è facilmente dimostrabile che 1>x^2+y^2.
<BR>d) Per un punto su un segmento (diag o lato), si avrà questa somma: S=1+1+1+1+1+1+x^2+y^2. (x e y sono i due sottosegmenti la cui somma è 1). Anche in questo caso, 1>x^2+y^2, poiché se n= x+y, allora n^2>x^2+y^2.
<BR>
<BR>Ho quindi dimostrato che la configurazione per 8 punti che mi rende il valore della somma maggiore è la a), ora attuo lo stesso procedimento anche per il punto 9, 10, 11, 12, 13…Finché non arrivo ad avere 2004 punti, che nella loro disposizione massima saranno 6 in 6 dei sette punti iniziali e 1998 nel settimo punto. In tal modo si avrà S=1+1+1+1+1+1+0+0+0+….+0
<BR>Cioè S=6, S<9.
<BR>Ciao!
<BR> Edo<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: jim il 08-01-2005 21:50 ]
<BR>Essendo per forza il centro \"o\" uno dei 2004 punti, è chiaro che la massima distanza tra due punti è r=1. Provo ora a disporre più punti nel modo più \"conveniente\", cioè cercando di far risultare massima la somma dei quadrati delle distanze minime; fino a 7 punti non c\'è problema: 1 al centro e 6 sulla circonferenza a formare un esagono, per cui S=7. Ora devo piazzare l\' ottavo punto: esso può finire in 4 posti diversi: a)su uno dei vertici dell\'esagono (o sul centro) b)all\'interno dell\'esagono c)all\'esterno dell\'esagono d) su un lato o su una diagonale dell\'esagono.
<BR>Vediamo cosa succede in ognuno dei casi:
<BR>a) p su un vertice o sul centro, S=6 (1+1+1+1+1+1+0+0)
<BR>b) p all’interno dell’esagono: S=(1+1+1+1+x^2+y^2+z^2+x^2) .Considero il triangolo equilatero (1/6 dell’esagono) che contiene il punto; esso viene diviso in tre triangoli ottusangoli T1, T2 e T3 che hanno i rispettivi lati: T1:1,x,y ; T2:1,x,z ; T3:1, y,z.
<BR>Essendo ottusangoli, il quadrato del loro lato maggiore (1) è superiore alla somma dei quadrati degli altri due lati. Confrontiamo ora questa disposizione b) con l’opzione a): perché la a risulti vantaggiosa, si dovrà avere: 2 > 2x^2+y^2+z^2. x^2 è infatti minore sia di y^2 che di z^2. per questo si avrà: 1>y^2+z^2 e 1>2x, da cui , sommando:
<BR>2>2x^2+y^2+z^2. E’ quindi dimostrato che la configurazione a) è più conveniente della b).
<BR>c) la stessa cosa vale per un punto esterno all’esagono, infatti, chiamati x e y le distanze di quel punto dai due vertici dell’ esagono più vicini, è facilmente dimostrabile che 1>x^2+y^2.
<BR>d) Per un punto su un segmento (diag o lato), si avrà questa somma: S=1+1+1+1+1+1+x^2+y^2. (x e y sono i due sottosegmenti la cui somma è 1). Anche in questo caso, 1>x^2+y^2, poiché se n= x+y, allora n^2>x^2+y^2.
<BR>
<BR>Ho quindi dimostrato che la configurazione per 8 punti che mi rende il valore della somma maggiore è la a), ora attuo lo stesso procedimento anche per il punto 9, 10, 11, 12, 13…Finché non arrivo ad avere 2004 punti, che nella loro disposizione massima saranno 6 in 6 dei sette punti iniziali e 1998 nel settimo punto. In tal modo si avrà S=1+1+1+1+1+1+0+0+0+….+0
<BR>Cioè S=6, S<9.
<BR>Ciao!
<BR> Edo<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: jim il 08-01-2005 21:50 ]
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MindFlyer
L\'obiezione di info ha senso, e mi permetto di dire che l\'errore di jim è piuttosto comune.
<BR>E poi, signori, vi prego, se vedete che il vostro approccio vi conduce a montagne di conti futili, abbandonatelo all\'istante! Vi garantisco che il problema si risolve con pochissime considerazioni \"banali\".
<BR>E poi, signori, vi prego, se vedete che il vostro approccio vi conduce a montagne di conti futili, abbandonatelo all\'istante! Vi garantisco che il problema si risolve con pochissime considerazioni \"banali\".
Allora vediamo quanto sono banali le mie considerazioni... Ho pensato ad un\'applicazione del <!-- BBCode Start --><I>box principle</I><!-- BBCode End -->: per qualsiasi n naturali, se \"partizioniamo\" il nostro cerchio unitario in n/2 cerchi minori di raggio pari a sqrt(2/n), allora in essi vi saranno almeno due 2 punti. La configurazione massimale si ottiene se per ogni cerchio contenuto si hanno due punti posti sulla rispettiva circonferenza, costituenti un diametro, e la distanza tra due punti posti in circonferenze adiacenti deve essere maggiore di tale diametro, che risulta 2*sqrt(2/n). Ma allora la sommatoria del quadrato delle distanze minime (nella configurazione massima) sarà pari a <!-- BBCode Start --><B>4*(2/n)*n = 8</B><!-- BBCode End -->. Che evidentemente è minore di 9.
<BR>
<BR>Mi raccomando, siate clementi... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 09-01-2005 15:14 ]
<BR>
<BR>Mi raccomando, siate clementi... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 09-01-2005 15:14 ]
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
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MindFlyer
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-09 12:59, DB85 wrote:
<BR>se \"partizioniamo\" il nostro cerchio unitario in n/2 cerchi minori di raggio pari a sqrt(2/n)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>A prescindere da quello che c\'è scritto dopo... ti sei accorto che non si può partizionare il cerchio in quel modo, vero? cosa intendi con \"\"partizioniamo\"\"?
<BR>On 2005-01-09 12:59, DB85 wrote:
<BR>se \"partizioniamo\" il nostro cerchio unitario in n/2 cerchi minori di raggio pari a sqrt(2/n)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>A prescindere da quello che c\'è scritto dopo... ti sei accorto che non si può partizionare il cerchio in quel modo, vero? cosa intendi con \"\"partizioniamo\"\"?
Suddividere in sub-cerchi disgiunti.
<BR>
<BR>EDIT: Beh, non c\'è un premio di consolazione? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 09-01-2005 13:12 ]
<BR>
<BR>EDIT: Beh, non c\'è un premio di consolazione? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 09-01-2005 13:12 ]
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<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-09 13:11, DB85 wrote:
<BR>EDIT: Beh, non c\'è un premio di consolazione? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Lol! Il premio di consolazione è la possibilità di riprovarci! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>On 2005-01-09 13:11, DB85 wrote:
<BR>EDIT: Beh, non c\'è un premio di consolazione? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Lol! Il premio di consolazione è la possibilità di riprovarci! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-08 22:43, info wrote:
<BR>Punto che nn capisco leggendo la tua sol. Come fai a dire che per massimizzare la combinazione da 8, debbano esistere 7 punti uguali alla combinazione che massimizza il 7?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Hai ragione! Ho ricontrollato e ho notato la cavolata che ho scritto, tuttavia non demordo e ci riprovo...
<BR>Il mio nuovo approccio è questo: immaginiamo il cerchio di raggio 1 inscritto in un quadrato di lato 2. Se si riesce a dimostrare che la fatidica somma massima all\'interno del quadrato è <9, si dimostra automaticamente che ciò vale anche per il cerchio, che avendo area minore, ha una maggiore \"densità\" di punti.
<BR>Ora, io sono pronto a scommettere qualsiasi cifra che la somma dei quadrati delle distanze minime tra 2004 punti in un quadrato di lato 2 è al massimo 8. Il problema è trovare una dimostrazione decorosa...
<BR>Mi sono avvicinato un po\' di più o è peggio di prima?
<BR>On 2005-01-08 22:43, info wrote:
<BR>Punto che nn capisco leggendo la tua sol. Come fai a dire che per massimizzare la combinazione da 8, debbano esistere 7 punti uguali alla combinazione che massimizza il 7?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Hai ragione! Ho ricontrollato e ho notato la cavolata che ho scritto, tuttavia non demordo e ci riprovo...
<BR>Il mio nuovo approccio è questo: immaginiamo il cerchio di raggio 1 inscritto in un quadrato di lato 2. Se si riesce a dimostrare che la fatidica somma massima all\'interno del quadrato è <9, si dimostra automaticamente che ciò vale anche per il cerchio, che avendo area minore, ha una maggiore \"densità\" di punti.
<BR>Ora, io sono pronto a scommettere qualsiasi cifra che la somma dei quadrati delle distanze minime tra 2004 punti in un quadrato di lato 2 è al massimo 8. Il problema è trovare una dimostrazione decorosa...
<BR>Mi sono avvicinato un po\' di più o è peggio di prima?
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-09 13:56, jim wrote:
<BR>è al massimo 8...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Stranamente è quello che usciva anche a me, pur avendo sbagliato!
<BR>On 2005-01-09 13:56, jim wrote:
<BR>è al massimo 8...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Stranamente è quello che usciva anche a me, pur avendo sbagliato!
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
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<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-09 13:56, jim wrote:
<BR>si dimostra automaticamente che ciò vale anche per il cerchio, che avendo area minore, ha una maggiore \"densità\" di punti.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Detto così, non ha un gran senso. Puoi benissimo costruire figure di area piccola a piacere che abbiano disposizioni di punti interni con somme di distanze grandi quanto vuoi. Pensa ad un rettangolo con un lato lungo quanto vuoi e l\'altro lato sufficientemente piccolo...
<BR>Piuttosto, qui è utile il fatto che il cerchio è sottoinsieme del quadrato, quindi insiemi di punti contenuti nel cerchio sono contenuti nel quadrato, e se provi la tesi per il quadrato l\'hai provata in particolare anche per il cerchio.
<BR>
<BR>Ma temo che questo approccio complichi solo il problema.
<BR>On 2005-01-09 13:56, jim wrote:
<BR>si dimostra automaticamente che ciò vale anche per il cerchio, che avendo area minore, ha una maggiore \"densità\" di punti.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Detto così, non ha un gran senso. Puoi benissimo costruire figure di area piccola a piacere che abbiano disposizioni di punti interni con somme di distanze grandi quanto vuoi. Pensa ad un rettangolo con un lato lungo quanto vuoi e l\'altro lato sufficientemente piccolo...
<BR>Piuttosto, qui è utile il fatto che il cerchio è sottoinsieme del quadrato, quindi insiemi di punti contenuti nel cerchio sono contenuti nel quadrato, e se provi la tesi per il quadrato l\'hai provata in particolare anche per il cerchio.
<BR>
<BR>Ma temo che questo approccio complichi solo il problema.