[DG] Punti e distanze in un cerchio

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Sono dati 2004 punti all\'interno di un cerchio di raggio 1, uno dei quali è il suo centro. Per ogni punto, si consideri la sua distanza dal più vicino degli altri punti. Dimostrare che la somma dei quadrati di queste 2004 distanze vale al più 9.

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Melkon
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Messaggio da Melkon » 01 gen 1970, 01:33

oggi durante un\'infruttuosa ora di storia mi sono messo a pensarci su, ed ecco che cosa ne è venuto fuori:
<BR>
<BR>perchè la somma dei quadrati sia massima, a parte il centro, gli alti punti si trovano sulla circonferenza. Infatti se non si trovassero sulla circonferenza avrebbero distanza fra loro <= di quelli che si trovano sulla circonferenza, e almeno uno di loro avrebbe distanza < dal centro. (si usa anche il fatto che x^2 >(x+a)(x-a) per ogni a diverso da 0??)
<BR>
<BR>chiamo A1, A2, A2003 i punti sulla circonferenza, O il centro
<BR>Ora, sempre che siano 2004 punti distinti, usando il teorema di carnot viene fuori che
<BR>A1^2+A2^2+...+A2003^2+AO=
<BR>2003(AO^2+AO^2-2cos360/2003)+1=
<BR>4006-4006cos360/2003 +1
<BR>
<BR>purtroppo però non ho molta dimestichezza con seno coseno e palle varie, quindi non ho idea di come semplificare matematicamente questa bestia, se non prendendo una calcolatrice e facendo i conti...
<BR>
<BR>EDIT: gli apostrofi...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Melkon il 16-12-2004 12:38 ]
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jim
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Messaggio da jim » 01 gen 1970, 01:33

Anch\'io avevo pensato a una soluzione che prevedesse un punto centrale e gli atri distribuiti uniformemente sulla circonferenza. Purtroppo non è questa la disposizione per cui la somma dei quadrati delle distanze viene 9, (sempre che non abbia sbagliato i calcoli), viene molto meno. Il risultato è dato, in pratica da
<BR>1+(l^2)*2003 dove \"l\" è il lato di un ipotetico poligono regolare a 2003 lati.
<BR>Ho trovato l/2 con la trigonometria facendo sin(360/4006)*1 =0.001568443
<BR>quindi l=0.003136886. Per ogni punto sulla circ., il punto più vicino è uno dei due adiacenti ad esso, che si trova appunto a distanza l.
<BR>La somma complessiva è quindi 1+(0.003136886^2)*2003= 1.019709628, che è ben lontana da 9.

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Melkon
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Messaggio da Melkon » 01 gen 1970, 01:33

il massimo a cui sia riuscito ad arrivare è 7, con sette punti a esagono regolare + il centro. Il problema è che con più di 7 punti mi sa che cala drasticamente la somma dei quadrati, perché la distanza massima tra due punti è evidentemente 1, ma mettendo l\'ottavo ce ne sono almeno due che distano meno di 1, e quindi la somma inizia a calare... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
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MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Sentite, voi dovete dimostrare che la somma dei quadrati è non superiore a 9, e <!-- BBCode Start --><I>non</I><!-- BBCode End --> trovare una configurazione (ammesso che esista) in cui quella somma è proprio 9 (avete presente il problema 1 di Archimede triennio, vero? ok).
<BR>
<BR>Detto questo, siete sicuri che il massimo si verifichi proprio con tutti i 2003 punti sulla circonferenza? Si vede bene che spostandone 6 verso il centro, la somma aumenta... Inoltre, mettendone 2025 uniformemente in un quadrato massimo (di diagonale 2) si ottiene una somma totale superiore a 2.

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Stavo pensando a questo (a mio parere insidioso) problema... Nn ho trovato molto. Proseguendo su questa strada trovo qualcosa?
<BR>
<BR>Consideriamo la somma dei quadrati delle distanze (=k) ed il numero di queste (=2004) come parametri . Allora l\'area minima che rispetta le condizioni stà su un pattern esagonale di lato sqrt(k/2004).
<BR>Ogni triangolino ha area k/2004*sqrt(3)/4.
<BR>Ora si studia la struttura del pattern esagonale cercando di diminuire il numero di triangolini lasciando invariato il numero di segmenti utilizzati (cioè si deve diminuire il perimetro della figura e per fare questo si può ricordare che il cerchio è la figura che a parità di area possiede minor perimetro).. Si vede così che l\'area della figura ottenuta è maggiore di quella del cerchio di raggio unitario e si prova a concludere (se nn si può ottenere 9, nn si può ottenere nemmeno un numero superiore!)...
<BR>
<BR>E\' solo un\'idea...sarà quella giusta?? Nn credo perchè nn sfrutto così il fatto che il centro sia tra i puni dati ma altre (apprezzabili) nn me ne vengono!
<BR>
<BR>
<BR>p.s.: cosa vuol dire DG?
<BR>p.s2: Preciso che tutto quanto scritto sopra è volutamente nn formalizzato: voglio solo trasmettere l\'idea per capire se è valida o meno..<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 27-12-2004 17:40 ]

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Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-27 17:21, info wrote:
<BR>p.s.: cosa vuol dire DG?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Disuguaglianze Geometriche.
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>p.s2: Preciso che tutto quanto scritto sopra è volutamente nn formalizzato: voglio solo trasmettere l\'idea per capire se è valida o meno..
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Lascia stare i pattern esagonali, il problema è molto più semplice.

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Ok..grazie per la risposta. Magari nn troverò la sol, però riesco a cambiare approccio in fretta! Ecco quà:
<BR>Notiamo che si chiedono i quadrati, questo ci fà pensare alle aree. Se moltiplichiamo la dis per pi otteniamo che la somma delle aree dei cerchi deve essere minore di 9 volte quella del cerchio unitario. Se si dimostra che un\'area nn può appartenere a più di 9 cerchi siamo a posto.
<BR>
<BR>Per ora immagino un\'area puntiforme (un punto P!) che appartiene ad n cerchi di raggio r1,r2,r3,..,3n, con i centri \'ordinati in senso orario\' rispetto al punto P. Traccio le distanze 0102,0203,0304,.. dove 0i è il centro del cerchio di raggio ri.Ovviamente per le condizioni di minimalità delle distanze (cioè un centro nn può stare dentro un altro cerchio diverso da quello di cui è il centro!), abbiamo che 0_i0_(i+1)>=max[r_i,r_(i+1)]. E quindi nel triangolo PO_iO_(i+1) l\'angolo 0i_P_0_(i+1) deve essere quello maggiore. Mettendoci nelle condizioni limite questo angolo è di 60° e quindi per il punto P passano al max 6 cerchi (+1 con centro nel punto P al max), un numero minore di 9...
<BR>
<BR>Se và bene provo a mettere le considerazioni necessarie anche per un\'area nn puntiforme...
<BR>
<BR>Ci sono andato + vicino?
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 28-12-2004 21:23 ]

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Messaggio da fph » 01 gen 1970, 01:33

ho trovato un po\' di tempo per affrontare il problema per conto mio in queste vacanze... bello, e\' molto \"classico\". Suggerisco a chi vuole prepararsi per gare \"olimpiche\" di provare a farlo (se non l\'avete gia\' fatto), e\' molto \"teorico\" e avere visto almeno una volta un esercizio di questo tipo e\' un \"must\"...
<BR>ciao,
<BR>--federico
<BR>
<BR>(e, Mind, caspita, la prossima volta tienili per il giornalino questi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">)
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Messaggio da MASSO » 01 gen 1970, 01:33

un\'assurdità<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MASSO il 01-01-2005 21:09 ]

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Potete smontarmi la mia ultima sol? Ha altri difetti a parte quello di nn considerare che le aree dei cerchiolini possano uscire dal cerchio grosso? E\' molto diverso il tuo approccio fph?
<BR>
<BR>@Masso: potresti argomentare meglio le tue conclusioni o spiegarmele se nn capisco? A parte il fatto che il numero nn è 6 ma 7, nella tua dim dovrebbe perlomeno rientrare il fatto che sei partito da una posizione massimale, altrimenti arriveresti all\'assurdo che da qualunque combinazione aggiungendo punti la somma nn può aumentare...Hai dato qualcosa dato per implicito (se si, scrivilo esplicitamente la prox volta)?

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Messaggio da MASSO » 01 gen 1970, 01:33

Ho scritto un\'assurdità, scusatemi ma è dall\'anno scorso che non dormo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

Il problema è aggiornabile? Cioè la proposizione è valida anche per 2005 punti?

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-02 13:32, psion_metacreativo wrote:
<BR>Il problema è aggiornabile? Cioè la proposizione è valida anche per 2005 punti?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Sì: potete risolverlo anche quest\'anno, e non è mai troppo tardi per risolverlo.
<BR>
<BR>fph, scusa se non l\'ho tenuto per il giornalino, ma ci sono così tanti bei problemi non originali che non mi è sembrato uno spreco. E poi, metterlo sul forum piuttosto che sul giornalino non è molto peggio...

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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>
<BR>non è mai troppo tardi per risolverlo.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Va interpretato (come sospettavo da un abbozzo di soluzione che ho provato a fare) nel che senso che in realtà 2005 è un numero così a caso e potevi dire n qualsiasi?

Bloccato