[N base] Divisori: conta e somma

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Ciao. Un vecchio <!-- BBCode Start --><I>evergreen</I><!-- BBCode End --> per i più giovani, con due formuline che ogni tanto servono...:
<BR>
<BR>Conoscendo la scomposizione in fattori primi di N, si dica
<BR>i) quanti divisori ha N;
<BR>ii) quanto vale la somma dei divisori di N.
<BR>
<BR>-------
<BR>
<BR>Se volete divertirvi, qual\'è il più piccolo N che ha 2004 divisori? La cui somma dei divisori è 2004? [confesso che non ho fatto i conti. Se con 2004 è troppo difficile, boh, fate con 12...]
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.[addsig]
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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Ma la domanda è di dimostrare le formule delle due funzioni o semplicemente di enunciarle??? (credo la 2, ma la domanda è malposta)
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Mah, la parte interessante è dimostrarle, non certo enunciarle... cmq, fate vobis.
<BR>
<BR>La prossima volta che posto un pb. metterò la solita postilla: \"si tenga presente che non verranno accettate come corrette soluzioni in cui le affermazioni enunciate non vengano adeguatamente dimostrate\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Ciao. M.
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Bene, bene, come pensavo, allora ci provo...
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Conoscendo la scomposizione in fattori primi di N, si dica
<BR>i) quanti divisori ha N;
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>i) Definiamo funzione sigma<sub>0</sub>(n) la funzione che associa ad ogni numero naturale la cardinalità dell\'insieme D, dove D:={x€N/ x | n}, ovviamente è una funzione perchè per ogni numero naturale esiste uno e un solo numero di divisori.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Step 1</B><!-- BBCode End --> Dimostriamo che se n=p<sup>k</sup> dove p è un primo naturale e k un intero positivo, allora sigma<sub>0</sub>(n)=k+1
<BR>Dimostrazione: Tutti e soli i divisori di n saranno le potenze di p minori o uguali a k, poichè contiamo anche lo 0 avremo la tesi.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Step 2</B><!-- BBCode End --> Dimostriamo che sigma<sub>0</sub>(-) è moltiplicativa.
<BR>Dimostrazione: f(a)*f(b)=f(ab) MCD(a,b)=1.
<BR>Per \"produrre\" tutti i divisori di dovremo moltiplicare tutti i divisori di a per tutti i divisori di b, poichè in tal modo otterremo tute le possibili permutazioni dei fattori primi di a,b, poichè, per ipotesi, non ne hanno di comuni.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Conclusione</B><!-- BBCode End -->:
<BR>Quando n è un numero naturale della forma p<sub>1</sub><sup>e<sub>1</sub></sup>p<sub>2</sub><sup>e<sub>2</sub></sup>...p<sub>k</sub><sup>e<sub>k</sub></sup>La funzione sigma<sub>0</sub>(n)=prod<sub>i=1,k</sub>(e<sub>i</sub>+1)
<BR>
<BR>Ora facciamo il problemino con il 12<IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">:
<BR>12=prod<sub>i=1,k</sub>(e<sub>i</sub>+1)
<BR>quindi gli esponenti possono essere
<BR>2,1,1
<BR>3,2
<BR>5,1
<BR>11
<BR>facendo i conti mettendo sempre il maggiore degli esopntenti con 2, il secondo con 3 ecc si ottiene che il più piccolo numero siffatto è 60<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 13-12-2004 15:49 ]
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-13 15:47, Boll wrote:
<BR><!-- BBCode Start --><B>Step 2</B><!-- BBCode End --> Dimostriamo che sigma<sub>0</sub>(-) è moltiplicativa.
<BR>Dimostrazione: f(a)*f(b)=f(ab) MCD(a,b)=1.
<BR>Per \"produrre\" tutti i divisori di dovremo moltiplicare tutti i divisori di a per tutti i divisori di b, poichè in tal modo otterremo tute le possibili permutazioni dei fattori primi di a,b, poichè, per ipotesi, non ne hanno di comuni.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ok. Tutto giusto. Provo a ridire meglio il passo citato:
<BR>
<BR>Se a e b sono coprimi, i divisori di ab sono tutti e soli i numeri della forma xy, con x | a e y | b. Inoltre, se z | ab, gli x e y come sopra sono unici.
<BR>
<BR>[si può dimostrare considerando la scomposizione unica in f.primi, oppure con un simpatico lemmino: se u e v sono coprimi e u | vw , allora u | w].
<BR>
<BR>Ciao. M.
<BR>[addsig]
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<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Conoscendo la scomposizione in fattori primi di N, si dica
<BR>ii) quanto vale la somma dei divisori di N.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Chiamiamo sigma(n) la funzione che associa ad ogni naturale la somma dei suoi divisori, è chiaramente una funzione perchè ogni numero ha un solo insieme di divisori e quindi una sola somma di essi. sigma(1)=1 per convenzione
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Step 1</B><!-- BBCode End -->Osserviamo che se n è un numero della forma p<sup>k</sup> con p primo naturale e k intero positivo, allora sigma(n)=sum<sub>i=1,k</sub>(p<sup>i</sup>), poichè i soli divisori di n sono le potenze di p minori o uguali a n.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Step 2</B><!-- BBCode End --> Dimostriamo che la funzione sigma(n) è moltiplicativa.
<BR>Dimostrazione:f(ab)=f(a)f(b), MCD(a,b)=1
<BR>sigma(a)=1+a+a<sub>1</sub>+...+a<sub>k</sub>
<BR>sigma(b)=1+b+b<sub>1</sub>+...+b<sub>k</sub>
<BR>dove a<sub>i</sub> è l\'i-esimo divisore di a e b<sub>i</sub> è l\'i-esimo divisore di b.
<BR>Per ciò dimostrato da me nello Step 2 della precedente dimostrazione e riscritto \"umanamente\" da marco in seguito avremo che il prodotto di tali numeri è effettivamente la somma di tutti e soli i divisori primi di a e b, poichè è il prodotto di tutti i divisori di a per tutti i divisori di b.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Conclusione</B><!-- BBCode End -->
<BR>Quando n è un numero naturale della forma p<sub>1</sub><sup>e<sub>1</sub></sup>p<sub>2</sub><sup>e<sub>2</sub></sup>...p<sub>k</sub><sup>e<sub>k</sub></sup>La funzione sigma(n)=prod<sub>i=1,k</sub>(sum<sub>l=0,e<sub>i</sub></sub>(p<sub>i</sub><sup>l</sup>))
<BR>La formula si può ridurre ulteriormente utilizzando le progressioni geometriche, ma non saprei dire quanto convenga e scrivere un\'altra formula con queste tag mi pare improbo... spero si capisca almeno quella sopra...
<BR>
<BR>Quindi ora il problemino con il 12:
<BR>11 non è somma di potenze perfette di primi, 1 nemmeno, allora non rimangono che 3 e 2, da cui si risale al numero 6.<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 14-12-2004 06:55 ]
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Ok. Sette punti per il Boll.
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