[N] Perfetti (Numeri e Quadrati)

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

<sub>Non saprei stimare la difficoltà di questo problema, io l\'ho trovato ostico, ma probabilmente vi è una soluzione molto migliore della mia, sappiatemi dire... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"></sub>
<BR>
<BR>i) Dimostrare che se n è un numero perfetto maggiore di 6, se è diviso da 3 allora è diviso anche 9.
<BR>ii)Dimostrare che se n è un numero perfetto maggiore di 28, se è diviso da 7 allora è diviso anche da 49.<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 12-12-2004 13:35 ]
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

JackSparrow
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Messaggio da JackSparrow » 01 gen 1970, 01:33

E\' un problema della gara telematica a squadre che si sta svolgendo in Lombardia. In ogni caso, dato che ormai la prima puntata è finita, posso dirti come l\'ho risolto io:
<BR>a)Ammettiamo per assurdo che un numero perfetto m maggiore di 6 sia divisibile per 3, ma non per 9. Se chiamiamo ora P la somma di tutti i suoi divisori che non contengono il fattore 3, la somma di tutti i divisori del numero sarà P + 3P, essendo infatti 3P la somma di tutti i divisori che contengono il fattore 3, dato che questo compare elevato al massimo alla prima potenza. Ne segue che m, che possiamo scrivere come 3k, essendo multiplo di 3, sarà pari a 4P, e sarà perciò pari. Sappiamo ora che ogni numero perfetto pari può essere scritto nel forma 2^(n – 1) (2^n – 1), dove 2^n – 1 è primo. Ora, se il numero deve essere multiplo di tre, 2^n – 1 dovrà essere divisibile per 3; tuttavia, dovendo essere anche primo, si avrà necessariamente 2^n – 1 = 3, per cui m sarebbe uguale a 6; tuttavia, avendolo supposto maggiore di 6, ciò è assurdo. Ne segue che, se m è divisibile per 3,dovrà esserlo anche per una potenza superiore del 3.
<BR>b)Ragioniamo analogamente per il secondo caso: supponendo m maggiore di 28 multiplo di 7, ma non di 49, e chiamando P la somma di tutti i suoi divisori non multipli di 7, avremo m = 7k = 8P, per cui m sarà pari. Utilizzando perciò ancora la formula 2^(n – 1) (2^n – 1), otterremo che 2^n – 1, essendo primo e multiplo di 7, dovrà essere pari a 7, da cui m = 28. Tuttavia ciò è assurdo, avendo supposto m > 28. Ne segue che m non potrà essere divisibile solo per 7 ma almeno per 49.
<BR>

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Io ho iniziato così... Chiamo s(n) la somma dei divisori del numero n, incluso n.
<BR>Se n=p1<sup>a1</sup>*p2<sup>a2</sup>*...*pn<sup>an</sup>,
<BR>s(n)=s(p1<sup>a1</sup>)*s(p2<sup>a2</sup>)*...*s(pn<sup>an</sup>)
<BR>=[p1<sup>(a1+1)</sup>-1]/(p1-1)*...*[pn<sup>(an+1)</sup>-1]/(pn-1)=2n (perchè n perfetto).
<BR>Da quà si capisce che se 3/n e 9nn divide n, nel primo membro si trova un multiplo di 4 ed n è pari. Analogamente per il caso 7...
<BR>Poi si procede come jacksparrow...ho scritto il tutto solo per mostrare quella bella formulina. Ciao
<BR>
<BR>
<BR>Edit: molto bello cmq, Boll...
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 12-12-2004 17:16 ]

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

@JackSparrow: So benissimo da dove proviene... Ho aspettato a postarlo apposta perchè scadesse il termine di consegna <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>La mia soluzione è identica a quella di info, uso la sigma(n), tuttavia mi rimane un dubbio, che è il motivo per cui ho postato qui il problema, come si dimostra che se n è un numero perfetto pari allora si può scrivere nella forma 2<sup>p-1</sup>(2<sup>p</sup>-1) dove 2<sup>p</sup>-1 è un primo di Mersenne???
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Visto che siamo in tema, propongo questo, più facile:
<BR>
<BR>Provare che un numero è quadrato perfetto se e solo se ha un numero dispari di divisori.
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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-12 17:18, Boll wrote:
<BR>... come si dimostra che se n è un numero perfetto pari allora si può scrivere nella forma 2<sup>p-1</sup>(2<sup>p</sup>-1) dove 2<sup>p</sup>-1 è un primo di Mersenne???
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>se ne è già parlato di questo problema qui: http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... m=5<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 12-12-2004 18:39 ]

ReKaio
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Messaggio da ReKaio » 01 gen 1970, 01:33

Sia n un numero perfetto (pari, dispari, come volete), dimostrate che la somma degli inversi dei suoi divisori e\' un numero intero
<BR>
<BR>W le banalita\', non smascheratemi subito, siate buoni
_k_

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Stupendo!! La somma degli inversi dei divisori di un numero perfetto è 1!!!
<BR>Generalizziamo allora!
<BR>Trovare i numeri per cui la somma degli inversi dei suoi divisori è un numero intero...
<BR>
<BR>Byez <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-13 15:59, Simo_the_wolf wrote:
<BR>Stupendo!! La somma degli inversi dei divisori di un numero perfetto è 1!!!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Bah, davvero la somma degli inversi dei divisori farebbe 2, comunque... Come non dedurne che sono appena tornato a rompere i <!-- BBCode Start --><I>maroons</I><!-- BBCode End -->? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>
<BR>\"E\' necessario che il tuo tesoro sia ritrovato affinché tutto ciò che hai scoperto durante il cammino possa infine avere un senso.\" - Paulo Coelho, <!-- BBCode Start --><I>L\'alchimista</I><!-- BBCode End -->

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Scusate ma nn è stato ancora risolto quello di Rekaio... (forse qualcuno segue il forum, quindi posto!...).
<BR>
<BR>Una soluzione può essere una (credo immediata) generalizzazione di questo metodo. Ammettiamo che il numero perfetto n abbia 6 divisori, p1-p2-p3-p4-p5-p6 (compreso 1 ed n).
<BR>Diciamo che
<BR>
<BR>p1*p6=p2*p5=p3*p4=n
<BR>
<BR>Quindi p1*p2*p3*p4*p5*p6=n^3 (il denominatore)
<BR>
<BR>ed il numeratore possiede come somma le combinazioni di 5 elementi dei 6 fattori. Ma ogni combinazione di 5 elementi contiene due coppie con prodotto n ed un numero primo a scelta tra i 6. Dato che questo primo è diverso per ogni combinazione, raccogliendo: n^2(p1+p2+p3+p4+p5+p6)=n^2*(2n)
<BR>
<BR>e il rapporto viene proprio 2.
<BR>
<BR>ciao

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