... ...
<BR>-3 6
<BR>-2 3
<BR>-1 1
<BR> 0 0
<BR> 1 0
<BR> 2 1
<BR> 3 3
<BR> 4 6
<BR> 5 10
<BR> ... ...
<BR>
<BR>Ci sono due colonne di numeri. In quella di sinistra troviamo tutti gli interi, enumerati, dall\'alto verso il basso, in ordine crescente. Ogni numero <i>c</i> della seconda colonna è uguale alla somma dei due numeri <i>a</i> e <i>b</i> della riga superiore (<i>a</i> appartiene alla colonna di sinistra, <i>b</i> a quella di destra).
<BR>Conoscendo <i>c</i>, trovare una formula che consenta di ricavare i due valori di <i>a</i> corrispondenti.
<BR> by emcuno & Antonio P.[addsig]
[A] Due colonne
Moderatore: tutor
Non ho capito bene la richiesta, ma presumo sia necessario trovare chi sono i numeri della seconda colonna.
<BR>Chiamiamo a<sub>n</sub> l\'n-esimo numero della seconda colonna e procediamo per induzione.
<BR>a<sub>1</sub>=0
<BR>a<sub>n+1</sub>=a<sub>n</sub>+n
<BR>Queste sono abbastanza riconoscibili come la definizione dei numeri triangolari, per cui a<sub>n</sub>= n(n-1)/2 (attenzione, il primo numero qui è 0 e non 1!).
<BR>Spero che questo sia almeno un passo verso la risposta corretta...
<BR>[addsig]
<BR>Chiamiamo a<sub>n</sub> l\'n-esimo numero della seconda colonna e procediamo per induzione.
<BR>a<sub>1</sub>=0
<BR>a<sub>n+1</sub>=a<sub>n</sub>+n
<BR>Queste sono abbastanza riconoscibili come la definizione dei numeri triangolari, per cui a<sub>n</sub>= n(n-1)/2 (attenzione, il primo numero qui è 0 e non 1!).
<BR>Spero che questo sia almeno un passo verso la risposta corretta...
<BR>[addsig]
"Non è certo che tutto sia incerto"(B. Pascal)
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-08 13:08, Sisifo wrote:
<BR>Chiamiamo a<sub>n</sub> l\'n-esimo numero della seconda colonna e procediamo per induzione.
<BR>a<sub>1</sub>=0
<BR>a<sub>n+1</sub>=a<sub>n</sub>+n
<BR>Queste sono abbastanza riconoscibili come la definizione dei numeri triangolari, per cui a<sub>n</sub>= n(n-1)/2 (attenzione, il primo numero qui è 0 e non 1!).
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Se posso dire la mia, penso che questa sia effettivamente la risposta che emcuno aveva in mente quand\'ha proposto il <!-- BBCode Start --><I>suo</I><!-- BBCode End --> problema, ché pare infatti ch\'egli ne sia l\'autore assieme a tale \"antonio\"...
<BR>
<BR>Ora, il punto è che il problema è mal posto, o comunque manca di fornire un dato essenziale, ché difatti la tua soluzione, sisifo, si poggia sull\'<!-- BBCode Start --><B>assunto</B><!-- BBCode End --> che, detta {c<sub>n</sub>}<sub>n € Z</sub> la sequenza dei numeri della colonna dx, sia in particolare c<sub>0</sub> := 0.
<BR>
<BR>Il problema originale, pur tuttavia, non fornisce quest\'informazione, a meno ch\'io non mi sia cecato a forza di darmi alle se**e (serie?!?)... Non resta che aspettare la (ri)venuta di emcuno e chiedere lumi!
<BR>
<BR>EDIT: ho prevenuti sterili dibattimenti di carattere puramente notazionale...
<BR>
<BR>
<BR>\"Io credo nel <!-- BBCode Start --><I>miracolo</I><!-- BBCode End --> dell\'autocombustione spontanea...\" - HiTLeuLeR<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 08-12-2004 13:22 ]
<BR>On 2004-12-08 13:08, Sisifo wrote:
<BR>Chiamiamo a<sub>n</sub> l\'n-esimo numero della seconda colonna e procediamo per induzione.
<BR>a<sub>1</sub>=0
<BR>a<sub>n+1</sub>=a<sub>n</sub>+n
<BR>Queste sono abbastanza riconoscibili come la definizione dei numeri triangolari, per cui a<sub>n</sub>= n(n-1)/2 (attenzione, il primo numero qui è 0 e non 1!).
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Se posso dire la mia, penso che questa sia effettivamente la risposta che emcuno aveva in mente quand\'ha proposto il <!-- BBCode Start --><I>suo</I><!-- BBCode End --> problema, ché pare infatti ch\'egli ne sia l\'autore assieme a tale \"antonio\"...
<BR>
<BR>Ora, il punto è che il problema è mal posto, o comunque manca di fornire un dato essenziale, ché difatti la tua soluzione, sisifo, si poggia sull\'<!-- BBCode Start --><B>assunto</B><!-- BBCode End --> che, detta {c<sub>n</sub>}<sub>n € Z</sub> la sequenza dei numeri della colonna dx, sia in particolare c<sub>0</sub> := 0.
<BR>
<BR>Il problema originale, pur tuttavia, non fornisce quest\'informazione, a meno ch\'io non mi sia cecato a forza di darmi alle se**e (serie?!?)... Non resta che aspettare la (ri)venuta di emcuno e chiedere lumi!
<BR>
<BR>EDIT: ho prevenuti sterili dibattimenti di carattere puramente notazionale...
<BR>
<BR>
<BR>\"Io credo nel <!-- BBCode Start --><I>miracolo</I><!-- BBCode End --> dell\'autocombustione spontanea...\" - HiTLeuLeR<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 08-12-2004 13:22 ]
Capisco cosa vuoi dire... Io mi sono rifatto alle colonne disegnate. Avrei dovuto precisare anche che con a<sub>n</sub> indicavo il numero scritto alla destra di n... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> [addsig]
"Non è certo che tutto sia incerto"(B. Pascal)
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
PREMESSA) Dunque, sì, lo riconosco, ho impostato male il problema, poichè mi sono basato sull\'assunto stanato da HiTLeuLeR: tale assunto tende a far imboccare strade sbagliate per la risoluzione del problema. Adesso faccio un altro paio di colonne, e in quella di sinistra potete trovare tutti e solo gli interi positivi.
<BR> 1; //
<BR> 2; 1
<BR> 3; 3
<BR> 4; 6
<BR> 5; 10
<BR> ... ...
<BR>Così dovrebbe andare meglio.
<BR>Dunque, esaminate i punti di seguito riportati.
<BR>
<BR>1) Provo a rielaborare il quesito: bisogna trovare una formula che consenta di ricavare <i>a</i> in funzione di <i>c</i>, allo stesso modo in cui la not formula A=(b*h)/2 ci consente di ricavare l\'area del triangolo in funzione della base e dell\'altezza.
<BR>
<BR>2) Provo a definire <i>a</i>, <i>b</i> e <i>c</i> in maniera più informale:
<BR><i>c</i> è un qualsiasi numero della colonna a destra;
<BR><i>a</i> è quel numero che si trova in alto a sinistra di <i>c</i>;
<BR><i>b</i> è quel numero che si trova subito sopra di <i>c</i> (o, se preferite, a destra di <i>a</i>).
<BR>Esempio:
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://emcuno.interfree.it/Z1.JPG"><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Sisifo) OK, Sisifo, l\'aver riconosciuto che quelli di destra sono numeri perfetti può essere un passo verso la soluzione. Bisogna ora trovare una relazione che lega <i>a</i> e <i>c</i>.
<BR>
<BR>HiTLeuLeR) Ci sono altri punti dove mi sono espresso male? Ogni critica (costruttiva) è graditissima.
<BR>Mmm... no, no, in questo problema ho preferuto mantenermi cautamente a distanza dalle serie.
<BR>
<BR>P.S.) Con riferimento ai numeri triangolari, il quesito del problema può essere così tradotto: quanti sono i punti <i>a</i> presenti su un lato di un numero triangolare figurato che conti complessivamente <i>c</i> punti? (tuttavia, in questo modo si escluderebbero gli <i>a</i> minori di 1)[addsig]
<BR> 1; //
<BR> 2; 1
<BR> 3; 3
<BR> 4; 6
<BR> 5; 10
<BR> ... ...
<BR>Così dovrebbe andare meglio.
<BR>Dunque, esaminate i punti di seguito riportati.
<BR>
<BR>1) Provo a rielaborare il quesito: bisogna trovare una formula che consenta di ricavare <i>a</i> in funzione di <i>c</i>, allo stesso modo in cui la not formula A=(b*h)/2 ci consente di ricavare l\'area del triangolo in funzione della base e dell\'altezza.
<BR>
<BR>2) Provo a definire <i>a</i>, <i>b</i> e <i>c</i> in maniera più informale:
<BR><i>c</i> è un qualsiasi numero della colonna a destra;
<BR><i>a</i> è quel numero che si trova in alto a sinistra di <i>c</i>;
<BR><i>b</i> è quel numero che si trova subito sopra di <i>c</i> (o, se preferite, a destra di <i>a</i>).
<BR>Esempio:
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://emcuno.interfree.it/Z1.JPG"><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Sisifo) OK, Sisifo, l\'aver riconosciuto che quelli di destra sono numeri perfetti può essere un passo verso la soluzione. Bisogna ora trovare una relazione che lega <i>a</i> e <i>c</i>.
<BR>
<BR>HiTLeuLeR) Ci sono altri punti dove mi sono espresso male? Ogni critica (costruttiva) è graditissima.
<BR>Mmm... no, no, in questo problema ho preferuto mantenermi cautamente a distanza dalle serie.
<BR>
<BR>P.S.) Con riferimento ai numeri triangolari, il quesito del problema può essere così tradotto: quanti sono i punti <i>a</i> presenti su un lato di un numero triangolare figurato che conti complessivamente <i>c</i> punti? (tuttavia, in questo modo si escluderebbero gli <i>a</i> minori di 1)[addsig]
OK, per riprendermi dallo shock delle avvenute Olimpiadi di Fisica, raccolgo la sfida. Per riformulare il problema, Sappiamo che a(a+1)/2=c e che b=c-a (per quanto ho detto prima, con una trascurabile modifica nelle notazioni). Dobbiamo trovare a e b. Dalla prima equazione ricavo che a=(Sqrt(8c+1)-1)/2 e sostituendo nella seconda b= (2c+1-Sqrt(8c+1))/2. Se si cercano i valori di a e b inferiori a uno invece, bisogna cambiare il segno davanti alla radice (come tutti i problemi di secondo grado,il problema ha due soluzioni...ah, l\'algebra elementare!). Non credo ci sia una formula più semplice. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> [addsig]
"Non è certo che tutto sia incerto"(B. Pascal)
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph