[A] La solita funzionale...

[HiTLeuLeR]

<!-- BBCode Start --><B><font color=blue>Problema 1:</font></B><!-- BBCode End --> determinare tutte e sole le funzioni f(·): ]0, +inf[ --> ]0, +inf[ tali che, per ogni x, y > 0: xy · f(x+y) · [f(x) + f(y)] = 1.
<BR>
<BR>
<BR>\"O my God...\" - P. Anderson quando ebbe a vedere per la prima volta...

[DB85]

Stanotte, in sogno, ho visto una lavagna con su scritto:
<BR><!-- BBCode Start --><B>f(z) = 1/z</B><!-- BBCode End -->
<BR>

[HiTLeuLeR]

Oh... e come dovrei prenderla? Attenzione, ho detto \"come\", non \"dove\"... Ok, DB85 ha stabilito che la funzione ]0,+inf[ --> ]0,+inf[: x --> 1/x è soluzione del problema. Qualcuno sa trovarne altre o è comunque in grado di escluderne l\'esistenza? Siccome non conosco le tue abilità di <!-- BBCode Start --><I>feq-solver</I><!-- BBCode End -->, DB, mi permetto di ricordarti che, nel caso delle funzionali, il problema - tipicamente - non è tanto di determinare una, due o infinite soluzioni dell\'equazione allo studio, bensì piuttosto di determinarle TUTTE...
<BR>
<BR>Ciao,
<BR>~ S. Tr.
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<BR>\"Ovviamente sì, è possibile amare un essere umano: basta soltanto non conoscerlo bene.\" - Charles Bukowski

[Mass0]

Sono il fratello di Masso e ho deciso di scrivere questo topic in onore di lui <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> .Ecco la soluzione del mio grande fratellone <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> che come voi tutti sapete ha 9 in matematica!Che bravo!:
<BR>f(x+y)=f(x)+f(y)
<BR>per cui:
<BR>(f(x)+f(y))^2*xy=1
<BR>f(x)^2+f(y)^2=1-xy
<BR>chindi è impossibile per il 3° teorema del calcolo scorregione.
<BR>Andrebbe formalizzato,come sa fare lui,ma lo lascio fare l mio grande fratellone <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
<BR>Spero di esserti stato di grande aiuto hitleur!
<BR>
<BR>\"Mi hanno picchiato a scuola xkè ho la faccio da culo\"Masso

[HiTLeuLeR]

Sì, in effetti mi sei stato di graaaaaande aiuto... Rappresenti infatti la prova vivente del fatto che la funzione che ad ogni uomo fa corrispondere il proprio grado intrinseco d\'idiozia ammette, in vero, sup-limite uguale a +inf. Grazie!!!
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<BR>\"Fortuna che Dio ha inventato gli imbecilli, così anche quelli come me, di tanto in tanto, trovano l\'occasione di sentirsi un pizzico geniali...\" - HiTLeuLeR

[Mass0]

Ho capito!Un po\' troppo di calcoli integralisti nella mia dimostrzione!
<BR>Orsù,Non ti demoralizzare che nel mondo ci stanno anche persone + coglion* di te
<BR>Un bel brindisi al nostro caro nazista!
<BR>
<BR>\"Ho conosciuto un leale compagno di banco,Hitler.Forse assieme formiamo un unico cervello\"Masso

[Spider]

euler se ho risolto per gli interi positivi sono a buon punto? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
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<BR>Spider

[Spider]

Credo di aver trovato una soluzione completa ma è piuttosto lunga è piena di calcoli (o come direbbe Fermat, troppo lunga per questo margine...) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>Cmq confermo che ll\'unica soluzione è f(x) = 1/x
<BR>
<BR>Spider

[Spider]

Ok, provo a postare la mia soluzione lasciando a voi tutti i calcoli.
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<BR>Posto la mia soluzione lasciando a voi tutti i calcoli.
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<BR>L\'equazione è equivalente a:
<BR>
<BR>f(x + y) = 1/{xy[f(x) + f(y)]}
<BR>
<BR>poniamo per semplicità k := f(1)
<BR>
<BR>ponendo nell\'equazione x = y = 1 e svolgendo i calcoli si ottiene:
<BR>
<BR>f(2) = 1/(2k)
<BR>
<BR>Ponendo x = 2 e y = 1 abbiamo invece:
<BR>
<BR>f(3) = k/(2k^2 + 1)
<BR>
<BR>Ponendo x = 3 e y = 1 e svolgendo i calcoli:
<BR>
<BR>f(4) = (2k^2 + 1)/(6k^3 + 6k)
<BR>
<BR>Ponendo invece x = y = 2:
<BR>
<BR>f(4) = k/4
<BR>
<BR>Uguagliando le ultime due espressioni di f(4) si arriva all\'equazione:
<BR>
<BR>3k^4 - k^2 - 2 = 0
<BR>
<BR>Che ha l\'unica soluzione reale positiva 1. Dunque f(1) = 1
<BR>
<BR>A questo punto, qualunque sia x e posto per semplicità k := f(x), sostituendo nell\'equazione originaria y = 1 otteniamo:
<BR>
<BR>f(x + 1) = 1/{x[k + 1]}
<BR>
<BR>Ponendo invece y = 2:
<BR>
<BR>f(x + 2) = 1/{2x[k + 1/2]}
<BR>
<BR>Sostituendo invece x + 1 al posto di x ed 1 al posto di y si ottiene:
<BR>
<BR>f(x + 1 + 1) = 1/{(x+1)[f(x + 1) + 1]} = 1/{(x+1)[1/(x(k+1)) + 1]}
<BR>
<BR>Come prima, uguagliamo le due espressioni di f(x + 2) o ci riconduciamo all\'equazione di secondo grado in k:
<BR>
<BR>2x^2k^2 + (2x^2-x)k - 2x - 1 = 0
<BR>
<BR>Risolvendo (e scartando ovviamente la soluzione negativa), arriviamo infine a
<BR>
<BR>f(x) = k = 1 / x
<BR>
<BR>
<BR>Fatemi sapere se funziona <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
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<BR>Saluti, Spider
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[HiTLeuLeR]

Ottimo lavoro, Spider!!! Pensavo che avrebbe resistito più a lungo, invece... tanto meglio così. Alla prossima, allora!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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<BR>\"Ceres, c\'è!\" - la tv