Prodotto di cotangenti

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Dimostrare che e\':
 cotg(a)*cotg(3a)*cotg(5a)*cotg(7a)*cotg(9a)=sqrt(11)
 essendo a=Pi/22
 (ovviamente e\' severamente vietato l\'uso di calcolatrici
 e di software matematici ! )
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 06-12-2004 16:37 ]

DB85 · Messaggio da **DB85** » 01 gen 1970, 01:33

Stando ad alcune mie prove, penso sia possibile una generalizzazione. Se si pone a=Pi/(2*p), con p dispari, si ha che:
 
 prodk=1, 3, 5...-->(p-2) cotg(ka) = sqrt[Pi/(2*a)]
 
 il che equivale a sqrt(p),
 
 Il problema sarebbe così ancora più carino.
 
 Karl mi confermerà il tutto, o mi getterà in uno stato di profonda depressione... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 EDIT: Confusione tra parentesi, e una radice dimenticata. Ora è tutto tuo, Karl!
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 07-12-2004 13:56 ]

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Se a=Pi/(2*p) allora il secondo membro della tua generalizzazione
 diventa (2*Pi)*(2*p)/Pi=4p ,risultato che non mi pare
 si adatti a tutti i casi (in particolare al quello che ho
 messo io).
 Spero di essere io in errore:non vorrei diventare la
 (involontaria) causa di una tua ,sia pur temporanea,...depressione!

DB85 · Messaggio da **DB85** » 01 gen 1970, 01:33

Oh scusa, ho sbagliato a scrivere... Ora correggo!

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Ora va bene.In realta\' il mio post e\' proprio basato
 su questa formula (caso p=11).
 Ora non resta che dimostrarla (forse con
 un pensierino ..alle radici dell\'unita\').

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

wow...allora ciò che ho appena scritto nn erano deliri completi! Mi manca qualcosa per andare avanti però (o meglio magari un approccio diverso nello stesso ambito)... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 07-12-2004 14:42 ]

Mass0 · Messaggio da **Mass0** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao a tutti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> sono il fratellino di Masso,il mio idolo che ha 9 in mate!
 Lui mi ha detto di fare così:
 cotg(a)*cotg(3a)*cotg(5a)*cotg(7a)*cotg(9a)=
 cotg(a*3a*5a*7a*9a)
 e ponendo:
 a*3a*5a*7a*9a=11-ctg
 tutto risolto.
 Ciao a tutti!
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 \"Sono uno sfigato che non ho mai visto una fica tranne quella di mia madre\"Masso

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Il complesso di Edipo+ignoranza 
 Bell\' accoppiata!

Mass0 · Messaggio da **Mass0** » 01 gen 1970, 01:33

L\'ignoranza è ciò che ci lega nella nostra sfigata famiglia <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> .Quanto al complesso di Edipo ti riferisci lla complessità della mia soluzione? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> .
 Forse ho formalizzato troppo
 
 \"Date a Cesare ciò che è di Cesare e a Masso la merda\"Masso

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Mi rendo conto soltanto adesso che forse sarebbe il caso di ignorare totalmente quest\'idiota, confidando nel fatto che, nonostante il suo evidentissimo grado di immunodeficienza mentale, il simpaticone possa abbandonare questi luoghi per non farvi mai più ritorno!!!
 
 
 \"Inqualificabile...\" - HiTLeuLeR

Mass0 · Messaggio da **Mass0** » 01 gen 1970, 01:33

Ma nn 6 tu quello con la maglietta rossa in questa foto?
 http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... erby=hitsD
 \"Se Hitler fosse ancora vivo cambierei idea riguardo i matrimoni gay\"Hitleur

DB85 · Messaggio da **DB85** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-12-07 14:27, karl wrote:
 In realta\' il mio post e\' proprio basato
 su questa formula (caso p=11).
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Ti giuro che non la conoscevo! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

@DB85
 Complimenti ,allora! Dal mio punto di vista
 non era facile arrivarci.
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 07-12-2004 18:32 ]

MASSO · Messaggio da **MASSO** » 01 gen 1970, 01:33

ci tengo a negare qualunque rapporto MassO; dato che oltre a non conoscerlo non mi sembra neanche tanto sveglio; sono atterrito dal solo fatto che possa esistere gente simile, mi chiedo solo perchè non sia stato ancora bannato; il problema è molto interessante solo che con i complessi ho poca familiarità, per ora sono solo riuscito a ridurlo a sqrt(11)=cos(2a)cos(4a)cos(6a)cos(8a)cos(10a)/cos(a)cos(3a)cos(5a)cos(7a)cos(9a)
 anche se non penso possa servire a molto

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Sia p un intero dispari.Le radici del polinomio x2p-1
 sono -1,+1,e p-1 coppie di complessi coniugati aventi somma
 2cos(2kPi/2p) e per prodotto 1.
 Analogamente le radici del polinomio xp-1
 sono 1 e (p-1)/2 coppie di complessi coniugati aventi somma
 2cos(2kPi/p) e per prodotto 1.Pertanto:
 (x2p-1)/(x2-1)=
 =Prod[k=1..(p-1)](x2-2xcos(2kPi/2p)+1)
 e per x=1:
 p=22p-2Prod[k=1..(p-1)](sin2(kPi/2p))
 Ovvero:
  (a) sqrt(p)/2(p-1)=Prod[k=1..(p-1)](sin(kPi/2p))
 (xp-1)/(x-1)=
 =Prod[k=1..(p-1)/2](x2-2xcos(2kPi/p)+1)
 e per x=1:
 p=2(p-1)Prod[k=1..(p-1)/2](sin2(kPi/p))
 Ovvero:
 sqrt(p)/2(p-1)/2=Prod[k=1..(p-1)/2](sin(kPi/p))
 Oppure:
 (b) sqrt(p)/2(p-1)/2=Prod[k=1..(p-1)/2](sin(2kPi/2p))
 [=Prod[k=1..(p-1)/2](cos((p-2k)Pi/2p)]
 Dividendo (a) per (b):
 (c) 1/2(p-1)/2=Prod[k=1..(p-1)/2](sin[(2k-1)Pi/2p])
 Osserviamo ora che,essendo (p-2k)/2+(2k-1)/2=(p-1)/2,gli argomenti
 dei seni e dei coseni in (b) e (c) sono i medesimi (anche se in
 ordine inverso) e quindi, dividendo (b) per (c), risulta:
 sqrt(p)=Prod[k=1..(p-1)/2](cotg[(2k-1)Pi/2p])
 Per p=11 si trova la richiesta identita\';per p=9 si ottiene:
 cotg10°cotg30°cotg50°cotg70°=3
 che mi pare sia una relazione assegnata in una IMO ( o in
 una gara equivalente).
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 08-12-2004 21:24 ]