Equazione funzionale

[Spider]

Probabilmente qualcuno la conosce già, in ogni caso la propongo:
<BR>
<BR>Determinare tutte le funzioni razionali f(x) di variabile razionale tali che
<BR>
<BR>f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) + 2f(y)
<BR>
<BR>Spider

[Simo_the_wolf]

Si sostituisce x=y=0 e si ottiene f(0)=0. Poi ponendo x=0 otteniamo:
<BR>f(y)+f(-y)=2f(y) cioè f(-y)=f(y) e quindi la funzione è pari. Quindi risolvendo la funzionale solo sui positivi abbiamo trovato tutta la funzione.
<BR>Dimostriamo induttivamente che, per ogni x€R e n€N, f(nx)=n²f(x) [1].
<BR>Base induttiva f(0*x)=0*f(x) (vera) e f(1*x)=1*f(x) (vera).
<BR>Supponendola vera per n-1 e n la dimostriamo per n+1. sostituiamo x-->nx e y-->x e otteniamo:
<BR>f((n+1)x)+f((n-1)x)=2f(nx)+2f(x)
<BR>f((n+1)x)=(2n²-(n-1)²+2)f(x)=(n+1)²f(x)
<BR>Ora abbiamo che per ogni n naturale si ha f(n)=n²f(1) [2]. Per i razionali sostituiamo nella [1] x-->m/n (m,n€N₀) e otteniamo:
<BR>f(m)=n²f(m/n)
<BR>ma, essendo m naturale, per la [2] abbiamo che f(m)=m²f(1) e quindi:
<BR>f(m/n)=(m/n)²f(1)
<BR>Quindi, la funzionale, nei razionali ha come soluzioni tutte le funzioni del tipo
<BR>f(x)=ax² (a€Q)

[FrancescoVeneziano]

Ecco come fare a perdere punti su un esercizio risolto. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>
<BR>Quello che hai fatto è stato trovare una condizione necessaria perché una funzione risolva l\'equazione funzionale, e ad una gara non prenderebbe punteggio pieno; per dire di aver risolto l\'esercizio devi ora verificare che effettivamente ogni funzione del tipo ax^2 è una soluzione, cosa molto semplice da fare ma che va fatta.
<BR>
<BR>CaO
<BR>Francesco Veneziano

[Simo_the_wolf]

D\'oh!!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">