[N] Un album di funzioni aritmetiche.

[HiTLeuLeR]

<font color=blue><!-- BBCode Start --><B>Problema 1:</B><!-- BBCode End --></font> per ogni n intero > 1, sia m(n) il più grande divisore primo naturale di n. Dimostrare che esistono infiniti interi n > 1 tali che: m(n) < m(n+1) < m(n+2).
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<BR>
<BR>\"L\'uomo non fa quasi mai uso delle libertà che possiede, come per esempio della libertà di pensiero; pretende invece come compenso, sempre e comunque, la libertà di parola.\" - Kierkegaard

[HiTLeuLeR]

Qualcuno (non io) ha tirato su questo <!-- BBCode Start --><I>thread</I><!-- BBCode End --> per poi cancellare il proprio messaggio... sono acuto, ve\'? Gh... Adesso mi domando: <!-- BBCode Start --><I>picché</I><!-- BBCode End -->?
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<BR>\"Se vi aspettate un aiuto, be\'... scordatevelo pure!\" - HiTLeuLeR <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 02-12-2004 23:39 ]

[matthewtrager]

l\'ho fatto io, perché avevo cercato di postare una soluzione ma per qualche strano motivo quando la inviavo alcune parti venivano cancellate... siccome era tardi e non avevo voglia di riprovare troppe volte ho cancellato il mess.
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<BR>uffa ho riprovato anche adesso e non vuole postarla tutta, ne taglia alcune parti... che posso fare?
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<BR>ciao<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: matthewtrager il 03-12-2004 15:59 ]

[matthewtrager]

ci riprovo
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<BR>Allora per dimostrare la tesi possiamo dimostrare che per ogni primo esiste una sua potenza che soddisfa la proprietà richiesta e in questo modo, poiché i primi sono infiniti, avremo trovato infinite soluzioni.
<BR>
<BR>Consideriamo un primo p e le sue potenze della forma p^(2^a). Ovviamente con a=0 non si soddisfa mai la proprietà poiché m(p)=p e m(p+1) < p.
<BR>
<BR>Notiamo però che p^2-1 = (p-1)(p+1) e in generale p^[2^(a+1)]-1 = [p^(2^a)-1][p^(2^a)+1], quindi vediamo induttivamente che, finché non si trova una soluzione, m[p^(2^a)-1] < m[p^(2^a)]=p (mentre quando per la prima volta il numero più grande di una potenza sarà \"maggiore\", inteso come m(n), di p, individuando cosi\' una soluzione, il numero più piccolo della successiva potenza sarà anche lui \"maggiore\" di p).
<BR>D\'altra parte ogni volta per ottenere il numero minore di una potenza moltiplichiamo il numero minore per il numero maggiore della potenza precedente: quindi poiché il MCD di questi due numeri è al massimo 2, se il secondo non è una potenza di 2 avremo \"guadagnato\" fattori primi. Poiché il numero di primi minori di p sono finiti, dopo un certo limite avremo che il fattore massimo del numero minore di una potenza di p sarà maggiore di p; in questo modo individuiamo anche una soluzione (la potenza precedente).
<BR>
<BR>Per dimostrare che il numero maggiore di una potenza di p non è mai una potenza di 2 si osserva che questo è sempre congruo a 2 mod 4.
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<BR>Nota: per non essere pieno di potenze bruttissime come quelle all\'inizio della sol. quando dico \"numero maggiore\" e \"minore\" di una potenza intendo la potenza +1 e la potenza -1 (penso che c\'eravate arrivati comunque..); poi ovviamente per potenza intendo sempre solamente le potenze di esponente 2^a.
<BR>
<BR>E\' detto male ma ora meglio di cosi\' non mi riesce a spiegarmi..ho avuto abbastanza da fare per riuscire a postarla! Magari se poi avrò un po di tempo cerco di migliorarla.
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<BR>ciao
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<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: matthewtrager il 03-12-2004 16:07 ]

[matthewtrager]

oh, finalmente dovrebbe avercela fatta, a prima vista non manca niente.
<BR>Tra l\'altro rileggendola mi rendo conto che è anche più contorta di quello che pensavo...spero che si riesca a capre lo stesso!

[HiTLeuLeR]

Tento di tradurre in italiano quel che ha bofonchiato matthew...
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<BR>Per ogni arbitrario primo intero p > 2 ed ogni n € N, siano k_p(n) := p^2ⁿ-1 e
<BR>K_p := {n € N: m(k_p(n)) < p}, ove m(·) è la funzione (già definita dal problema) che ad ogni naturale t > 1 fa corrispondere il più grande fra i divisori primi interi positivi di t. Evidentemente, K_p è non vuoto, dacché: 0 € K_p.
<BR>
<BR>Del resto, per ogni r, s € N: r < s ==> k_p(r) | k_p(s), poiché può porsi, se n € N₀:
<BR>
<BR><center>k_p(n) = (p-1) · prod_h=0...n-1 (p^{2^h}+1)</center>
<BR>Inoltre, per ogni n € N: 0 < gcd(p^2ⁿ-1, p^2ⁿ+1) <= 2, e perciò, al crescere della variabile n € N, deve crescere conseguentemente il numero dei fattori primi <!-- BBCode Start --><I>distinti</I><!-- BBCode End --> di k_p(n), posto di considerare che, per n > 0: p^2ⁿ+1 = 2 mod 4, e che quindi k_p(n) non può essere una potenza esatta del 2.
<BR>
<BR>Se ne conclude che l\'insieme K_p di cui sopra si è detto è di forza limitato⁽¹⁾ superiormente. Essendo non vuoto, K_p ammette un elemento massimo, peraltro unico. Sia M := max(K_p). Per costruzione: m(k_p(M)) < p < m(k_p(M+1)). Tuttavia: k_p(M) := p^{2^M}-1 e k_p(M+1) := p^{2^M+1}-1 = (p^{2^M}-1)(p^{2^M}+1), cosicché:
<BR>
<BR><center>m(k_p(M)) < p < m(k_p(M+1)) ==> m(k_p(M+1)) = m(p^{2^M}+1) > p</center>
<BR>e quindi: m(p^{2^M}-1) < m(p^{2^M}) < m(p^{2^M}+1). Considerando che p può scegliersi in infiniti modi differenti, di qui fa finalmente seguito la tesi, q.e.d.
<BR>
<BR>⁽¹⁾: è difatti finito il numero dei primi interi positivi distinti < p.
<BR>
<BR>-----
<BR>
<BR>Molto bravo, matthew, avvero molto bravo... a parte l\'italiano, ecco! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>EDIT: <!-- BBCode Start --><I>errata corrige</I><!-- BBCode End -->!!! Grazie a matthew per la segnalazione...
<BR>
<BR>
<BR>\"Se soltanto lei <!-- BBCode Start --><I>avrebbe</I><!-- BBCode End --> potuto immaginare...\" - Bonolis <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 04-12-2004 14:14 ]

[matthewtrager]

Grazie, anche per la traduzione! in effetti è un pò meglio cosi\'...
<BR>Solo una piccola svista:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-03 18:10, HiTLeuLeR wrote:
<BR>posto di considerare che, per n > 0: k_p(n) = 2 mod 4, e che quindi k_p(n) non può essere una potenza esatta del 2.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Non è k_p(n) congruo a 2 mod 4 (infatti è congruo a 0 mod 4) ma k_p(n) + 2, o meglio p^2ⁿ+1.
<BR>
<BR>Ciao!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: matthewtrager il 04-12-2004 20:46 ]