Qual\'e` la probabilita\' che una generica equazione di terzo grado:
<BR>ax^3 + bx^2 + cx +d = 0 (coefficienti reali)
<BR>abbia:
<BR>
<BR>(a) Tre soluzioni reali distinte.
<BR>(b) Tre soluzioni reali di cui due coincidenti.
<BR>(c) Tre soluzioni reali coincidenti.
<BR>(d) Tre soluzioni reali (qualunque).
<BR>(e) Due soluzioni complesse.
<BR>
<BR>Domandona bonus!!!
<BR>Qual\'e` la probabilita\' che gli zeri di un polinomio di grado n a coefficienti reali siano tutti reali?
[AC] Equazione e probabilita\'
Moderatore: tutor
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MindFlyer
Non è chiaro come sia definita la probabilità, in problemi come questo, quindi le domande non hanno senso.
<BR>
<BR>Detto tra parentesi (non vorrei scatenare polemiche), è interessante vedere come, quando qualcuno qui inventa problemi di probabilità, riesca quasi sempre a produrre delle inconsistenze. Quando si vuole creare un problema di probabilità <!-- BBCode Start --><I>elementare</I><!-- BBCode End --> (perché questo forum è dedicato alla matematica elementare), è un\'ottima regola fare attenzione che i casi del problema siano un insieme finito, per assicurarsi che la probabilità sia definita.
<BR>Faccio un esempio classico di problema ben formato: in un\'urna vi sono 4 palline rosse e 3 nere, qual è la probabilità che estraendone 2 a caso, queste siano dello stesso colore? Si vede facilmente che i casi possibili sono in numero finito, e la probabilità qui è definita come il rapporto tra il numero di casi favorevoli (2 palline dello stesso colore) ed il numero di casi possibili.
<BR>In qualche contesto (sempre elementare), può accadere che l\'insieme dei casi possibili sia infinito, e tuttavia il problema sia ben formato (posto che il testo specifichi chiaramente cosa s\'intende per probabilità in quel caso). Un esempio è questo: qual è la probabilità che, scelto a caso un punto in un quadrato, la sua distanza dal centro sia minore della metà del lato? Qui il testo del problema dovrebbe recitare anche una formula standard del tipo \"detta Q l\'area del quadrato, la probabilità che il punto si trovi in una regione di area A è A/Q\". In tal modo è chiaro cosa sia la probabilità, ed il problema ha senso perché i casi possibili finiti di prima sono diventati un\'area totale finita.
<BR>D\'altra parte, in un problema come quello proposto da Franchifis, il \"dominio\" stesso è infinito, ed il testo non specifica come si debba calcolare la probabilità. Un modo per rendere l\'inconsistenza più evidente è questo: supponiamo che un problema chieda di trovare la probabilità che un numero naturale sia pari. Verrebbe da rispondere 1/2, perché i numeri pari ed i dispari si alternano \"uniformemente\" nei naturali. Supponiamo ora di moltiplicare ogni numero pari per 2, ottenendo così tutti i multipli di 4. Ogni numero pari si è \"spostato\" in un multiplo di 4, e non vi sono state sovrapposizioni, quindi i casi favorevoli non sono cambiati. Ma ora, seguendo lo stesso ragionamento di prima, la probabilità di beccare uno di questi numeri è diventata 1/4... eppure dovrebbe essere ancora 1/2, perché i casi favorevoli sono tanti quanti prima!
<BR>Esistono anche problemi di probabilità che potrebbero essere ben definiti, ma tuttavia sono inconsistenti perché il testo non specifica come calcolare la probabilità. Un esempio classico è: qual è la probabilità che la corda di una circonferenza misuri meno del raggio? Qui si possono dare molte risposte, tutte valide, ma dipendenti da come si definisce lo spazio di probabilità. Per esempio, se si scelgono a caso gli estremi della corda sulla circonferenza (con una definizione di probabilità simile a quella del problema sul quadrato di poco fa), si ottiene una risposta diversa da quella che si otterrebbe scegliendo a caso la distanza tra la corda ed il centro. Qui la pecca del problema sta soltanto nel non aver specificato quale delle definizioni accettabili di probabilità si debba applicare.
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<BR>Detto tra parentesi (non vorrei scatenare polemiche), è interessante vedere come, quando qualcuno qui inventa problemi di probabilità, riesca quasi sempre a produrre delle inconsistenze. Quando si vuole creare un problema di probabilità <!-- BBCode Start --><I>elementare</I><!-- BBCode End --> (perché questo forum è dedicato alla matematica elementare), è un\'ottima regola fare attenzione che i casi del problema siano un insieme finito, per assicurarsi che la probabilità sia definita.
<BR>Faccio un esempio classico di problema ben formato: in un\'urna vi sono 4 palline rosse e 3 nere, qual è la probabilità che estraendone 2 a caso, queste siano dello stesso colore? Si vede facilmente che i casi possibili sono in numero finito, e la probabilità qui è definita come il rapporto tra il numero di casi favorevoli (2 palline dello stesso colore) ed il numero di casi possibili.
<BR>In qualche contesto (sempre elementare), può accadere che l\'insieme dei casi possibili sia infinito, e tuttavia il problema sia ben formato (posto che il testo specifichi chiaramente cosa s\'intende per probabilità in quel caso). Un esempio è questo: qual è la probabilità che, scelto a caso un punto in un quadrato, la sua distanza dal centro sia minore della metà del lato? Qui il testo del problema dovrebbe recitare anche una formula standard del tipo \"detta Q l\'area del quadrato, la probabilità che il punto si trovi in una regione di area A è A/Q\". In tal modo è chiaro cosa sia la probabilità, ed il problema ha senso perché i casi possibili finiti di prima sono diventati un\'area totale finita.
<BR>D\'altra parte, in un problema come quello proposto da Franchifis, il \"dominio\" stesso è infinito, ed il testo non specifica come si debba calcolare la probabilità. Un modo per rendere l\'inconsistenza più evidente è questo: supponiamo che un problema chieda di trovare la probabilità che un numero naturale sia pari. Verrebbe da rispondere 1/2, perché i numeri pari ed i dispari si alternano \"uniformemente\" nei naturali. Supponiamo ora di moltiplicare ogni numero pari per 2, ottenendo così tutti i multipli di 4. Ogni numero pari si è \"spostato\" in un multiplo di 4, e non vi sono state sovrapposizioni, quindi i casi favorevoli non sono cambiati. Ma ora, seguendo lo stesso ragionamento di prima, la probabilità di beccare uno di questi numeri è diventata 1/4... eppure dovrebbe essere ancora 1/2, perché i casi favorevoli sono tanti quanti prima!
<BR>Esistono anche problemi di probabilità che potrebbero essere ben definiti, ma tuttavia sono inconsistenti perché il testo non specifica come calcolare la probabilità. Un esempio classico è: qual è la probabilità che la corda di una circonferenza misuri meno del raggio? Qui si possono dare molte risposte, tutte valide, ma dipendenti da come si definisce lo spazio di probabilità. Per esempio, se si scelgono a caso gli estremi della corda sulla circonferenza (con una definizione di probabilità simile a quella del problema sul quadrato di poco fa), si ottiene una risposta diversa da quella che si otterrebbe scegliendo a caso la distanza tra la corda ed il centro. Qui la pecca del problema sta soltanto nel non aver specificato quale delle definizioni accettabili di probabilità si debba applicare.
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Franchifis
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MindFlyer
Ok, non ti preoccupare.
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<BR>Mi rendo conto che il mio esempio sulla probabilità che un numero naturale sia pari non sia in realtà una spiegazione dell\'inconsistenza del problema, bensì sia un esempio di costruzione paradossale (un po\' come il paradosso di Banach-Tarski), che a priori può convivere benissimo con gli assiomi della probabilità.
<BR>Quindi, se il mio esempio non vi convince perché pensate ad una bigezione tra figure geometriche di area diversa, che preserva la cardinalità, ma non l\'area, vi propongo qualcosa di più sensato.
<BR>Supponiamo che la probabilità sia definita per opportuni sottoinsiemi di N, tra cui vi siano i singoletti dei suoi elementi. Supponiamo anche che ad ogni insieme {n} sia associata la stessa probabilità p. Tra le proprietà della probabilità vi è quella che dice che la probabilità dell\'unione di una famiglia numerabile di insiemi disgiunti è pari alla somma delle loro probabilità, da cui si evince che la probabilità di tutto N è o infinita oppure 0. Ma noi vorremmo che fosse 1, quindi niente da fare.
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<BR>Mi rendo conto che il mio esempio sulla probabilità che un numero naturale sia pari non sia in realtà una spiegazione dell\'inconsistenza del problema, bensì sia un esempio di costruzione paradossale (un po\' come il paradosso di Banach-Tarski), che a priori può convivere benissimo con gli assiomi della probabilità.
<BR>Quindi, se il mio esempio non vi convince perché pensate ad una bigezione tra figure geometriche di area diversa, che preserva la cardinalità, ma non l\'area, vi propongo qualcosa di più sensato.
<BR>Supponiamo che la probabilità sia definita per opportuni sottoinsiemi di N, tra cui vi siano i singoletti dei suoi elementi. Supponiamo anche che ad ogni insieme {n} sia associata la stessa probabilità p. Tra le proprietà della probabilità vi è quella che dice che la probabilità dell\'unione di una famiglia numerabile di insiemi disgiunti è pari alla somma delle loro probabilità, da cui si evince che la probabilità di tutto N è o infinita oppure 0. Ma noi vorremmo che fosse 1, quindi niente da fare.