[G] Diseguaglianza rispetto ad un quadrato.

[karl]

Sia ABCD il quadrato di lato unitario,dimostrare che e\':
<BR>PA*PB+PC*PD>=1
<BR>dove P e\' un punto del piano del quadrato.
<BR>

[J4Ck202]

Carino. Per ora ho solo una soluzione parziale, ma la posto lo stesso.
<BR>
<BR>Se ci mettiamo nel riferimento
<BR>A(-1,1) B(1,1) C(1,-1) D(-1,-1)
<BR>Dobbiamo dimostrare che PA*PB + PC*PD > 4. Bene.
<BR>
<BR>1) Dalla concavità della radice quadrata
<BR> sqrt(a+b+c+d) > 1/2 ( sqrt(a) + sqrt(b) + sqrt(c) + sqrt(d) )
<BR>
<BR>2) Scrivendo per esteso le distanze ed applicando 1) abbiamo
<BR>
<BR> PA*PB + PC*PD >
<BR> |x^2-1| + 1/2 (|x-1|+|x+1|)(|y-1|+|y+1|) + y^2 + 1
<BR>
<BR> che è sempre > 4, fatta eccezione per una
<BR> regione del piano (una sorta di farfalla) formata
<BR> dal quarto di cerchio OBC (centro O, arco BC)
<BR> e dal quarto di cerchio OAD (centro O, arco AD).
<BR>
<BR>Prossimamente vedrò ci completare la dimostrazione.
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>

[MindFlyer]

Se il buon Jack me lo consente (ma anche no), finisco io.
<BR>
<BR>Supponiamo che P sia nella striscia di piano delimitata dalle rette AB e CD (che quindi contiene il luogo lasciato fuori da Jack).
<BR>
<BR>Sia X l\'area di ABP, e Y l\'area di CDP.
<BR>Considerando la retta per P parallela ad AB, si deduce facilmente che 2X+2Y=1, perché ABP e CDP coprono un\'area pari alla metà del quadrato ABCD.
<BR>
<BR>Inoltre AP*BP>=2X, e CP*DP>=2Y, perché l\'area di un triangolo con 2 lati fissati è massima quando l\'angolo tra essi compreso è retto.
<BR>
<BR>Da ciò si ricava che AP*BP+CP*DP >= 2X+2Y = 1.

[MindFlyer]

Ah, tra l\'altro, per la parte di piano esterna alla striscia, la disuguaglianza è ovvia.
<BR>
<BR>Infatti, in quel caso, o AP e BP sono entrambi > 1, oppure lo sono CP e DP.