[A] Algebra .. o quasi

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/A.bmp"><!-- BBCode End -->
<BR>[naturalmente per via elementare]

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Provo l\'uno.
<BR>Scriviamo tutto per benino e speriamo che funga <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Step 1</B><!-- BBCode End --> Si dimostra che il problema è equivalente a dimsotrare che, nella successione definita per ricorrenza
<BR>I a<sub>1</sub>=2
<BR>II a<sub>n</sub>=(a<sub>n-1</sub>)<sup>n</sup>/n
<BR>comunque preso un a<sub>i</sub> appartenente alla successione, esso è maggiore di 1.
<BR>
<BR>Dimostrazione: prendiamo l\'i-esimo termine della successione sopra descritta, poniamo <a<sub>i</sub>, moltiplichiamo per i ed estraiamo la radice i-esima, poi lo stesso per i-1 fino a che non \"finiamo\" gli i è andiamo a 1, avremo la formula da dimostrare e dimostrandolo per tutti gli, lo proveremo per qualsiasi n naturale.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Step 2</B><!-- BBCode End --> Si dimostra che (2<sup>i</sup>)/i>=2 per ogni i>=2, quindi che 2<sup>i-1</sup>>i
<BR>
<BR>Dimostriamolo per induzione su i
<BR>caso i=2
<BR>2>=2 OK
<BR>se è vera per i il caso i+1 è
<BR>2<sup>i</sup>>i+1
<BR>che è
<BR>2<sup>i-1</sup>+2<sup>i</sup>-2<sup>i-1</sup>>i+1
<BR>elidendo ciò che si suppone vero
<BR>2<sup>i</sup>>=2<sup>i-1</sup>+1
<BR>vale l\'uguaglianza per i=1, poi la distanza fra 2<sup>i</sup> e 2<sup>i-1</sup> continua a crescere rafforzando la tesi.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Step 3</B><!-- BBCode End --> Si dimostra che ogni elemento della successione è maggiore di 2 e quindi di 1.
<BR>Partendo dal primo elemento, 2, l\'operazione che si svolge è elevare all\'ennesima potenza e poi dividere per n, come abbiamo sopra dimostrato essendo 2<sup>n</sup>>2n otteremo, nel primo caso, ancora un numero>2, quindi uguale a 2j, per un j reale, ma allora anche per il terzo termine vale che 2<sup>n</sup>>2n e otteremo un nuovo numero 2k, e così all\'infinito.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 29-10-2004 15:41 ]
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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Non ho ben compreso la dimostrazione di boll
<BR>anche perche\' sembra concludere che il valore finale
<BR>sia >2 mentre in realta\' deve essere <2.
<BR>

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Provato a riscrivere tutto, ditemi se c\'è una falla, niente di più probabile <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 28-10-2004 22:08 ]
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Boll mi scusera\' se posto anche la mia soluzione.
<BR>Detto P il 1° membro della diseg. e\' facile vedere
<BR>che si ha:
<BR>ln(P)=ln2/2!+ln3/3!+ln4/4!+ln5/5!+....+ln(n)/n!
<BR>Ora la funzione ln(x)/x e\' strettamente decrescente
<BR>per x>e [e =2.72 circa(=base dei log. naturali)]
<BR>Pertanto risulta:
<BR>ln3/3!=ln3/(3*2!);
<BR>ln4/4!=ln4/(4*3!) ovvero:ln4/4! minore di ln3/(3*3!)
<BR>ln5/5!=ln5/(5*4!) ovvero ln5/5! minore di ln3/(3*4!)...... e cosi\' via.
<BR>Raccogliendo si ha quindi:
<BR>ln(P) < ln2/2!+ln3/3(1/2!+1/3!+1/4!+...+1/n!)
<BR>Ma: e=1+1/1!+1/2!+1/3!/1/4!+...+1/n!+.....
<BR>e dunque:
<BR>lnP < ln2/2+ln3/3*(e-2)=0.61 circa.
<BR>Da qui viene:
<BR>P minore di e<sup>0.61</sup> =1.84<2.
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 29-10-2004 15:17 ]

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Ma la mia è giusta??? <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Fammi capire Boll,ma se ,come e\' detto nel 3° passo,i termini
<BR>della successione sono >2 come puo\' essere verificata la cosa?
<BR>Sono sicuro che e\' colpa della mia \"capa tosta\" che non riesce
<BR>a centrare il tuo ragionamento.
<BR>

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Perchè quella progressione è l\'\"inversa\" della tua, se continuiamo a dividere per n ed estrarre la redice n-esima viene esattamente la tua. Boh, forse è tutto sbagliato e sto prendendo un gigantesco abbaglio...
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Invece ora mi e\' piu\' chiaro e credo che il
<BR>tuo calcolo sia giusto .
<BR>N.B. Me lo potevi dire prima che la tua succ. era
<BR>al contrario :mi hai fatto quasi intronare la testa!
<BR>Naturalmente scherzo;stammi bene .
<BR>Per quanto riguarda il 2° quesito suggerisco (anche
<BR>perche\' lo so!) di ricordare ( o di dimostrare)
<BR>l\'identita\' valida per gli angoli di un triangolo ,eventualmente
<BR>degenere,data da :
<BR>cos<sup>2</sup>a+cos<sup>2</sup>b+cos<sup>2</sup>c+2(cosa)(cosb)(cosc)=1
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 29-10-2004 16:35 ]

DB85
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Messaggio da DB85 » 01 gen 1970, 01:33

Eccomi qui dopo una settimana di Uni... Mi chiedo perchè nell\'ateneo più grande di Europa non si provveda all\'installazione di una rete wireless, così da poter fare qualche cosa su Internet. Mah!
<BR>
<BR>Karl, per il primo punto se si dimostra molto semplicemente che il limite di quella sequenza è 2? Sarebbe corretto?
<BR>
<BR>sqrt(2L)=L --> L<sup>2</sup> - 2L = 0 --> L=2
<BR>
<BR>Per il minimo del secondo si può dimostrare per assurdo che x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> + z<sup>2</sup> >= 3/4.
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

E\' gia\' accaduto altre volte che si sia proceduto come hai fatto
<BR>tu:il problema e\' che occorre prima dimostrare che il limite esiste.
<BR>Quanto al secondo quesito il minimo da te indicato e\' esatto
<BR>(se vuoi dimostralo..) ;si chiede anche il massimo (del resto
<BR>abbastanza ovvio).

DB85
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Messaggio da DB85 » 01 gen 1970, 01:33

Beh in teoria basta verificare che:
<BR>|a(n)-2|<epsilon
<BR>
<BR>comunque preso un epsilon > 0.
<BR>
<BR>P.S.: Mica si vede che faccio Analisi I... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>P.S.2: Toh, il mio 100esimo post!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 29-10-2004 20:43 ]
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Per la disuguaglianza: Mi pare che il massimo per x²+y²+z² non ci sia. Infatti basta porre x=-1 e abbiamo come condizione che (z-y)²=0 cioè y=z ma li possiamo prendere grandi a piacere. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Dato che nessuno posta la soluzione del primo lo faccio io (con in realtà l\'obiettivo di proporre un esercizio di algebra senza aprire nuovi post).
<BR>
<BR>Uso le tanto care disuguaglianze tra medie. Queste valgono solo per numeri positivi e quindi si deve distinguere il caso (+2xyz) e (-2xyz) nella condizione. Risolvo solo il primo, per il secondo si procede analogamente...
<BR>
<BR>min(x^2+y^2+z^2)= min (1-2xyz), che equivale a trovare il max(xyz).
<BR>Per la disuguaglianza tra media geometrica e quadratica:
<BR>
<BR>rad_cub (xyz) <= rad ((x^2+y^2+z^2)/3) = rad ((1-2xyz)/3)
<BR>
<BR>ponendo xyz=k,elevando alla sesta e risolvendo con ruffini si trova:
<BR>
<BR>(k+1)^2*(8k-1)<=0
<BR>
<BR>che ci dà la condizione k<=1/8. Si sostituisca e viene 1-2xyz=3/4.. Naturalmente per essere sicuri si vede che x,y,z=1/2 rispettano le condizioni.
<BR>
<BR>L\'altro caso non porta a nulla di buono e quindi...
<BR>
<BR>ECCO UN ALTRO ESERCIZIO DI ALGEBRA.
<BR>
<BR>Dato un numero intero n >=2. Se z (diverso da 0) è un numero complesso tale che:
<BR>
<BR>S ( k=0,...[n/4] ) (n , 4k)*z^(4k) =
<BR>
<BR>S ( k=0,...[(n-2)/4] ) (n , 4k+2)*z^(4k+2)
<BR>
<BR>
<BR>Provare che se l\'uguaglianza vale allora il numero è reale... Ho provato distinguendo vari tipi di n, così da togliermi il simbolo [] e con la forma trigonometrica e quella normale di un numero complesso ma mi incasino non
<BR>poco con i binomiali...
<BR>
<BR>legenda:
<BR>
<BR>S (k=0,...a) k = 0+1+2+3+4+...+a
<BR>cioè S stà per il simbolo di sommatoria
<BR>
<BR>[x] = parte intera di x;
<BR>
<BR>(a,b) coefficiente binomiale
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 31-10-2004 15:03 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 31-10-2004 15:04 ]

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

uppo questo esercizio, casomai qualcuno ci volesse provare...
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>ECCO UN ALTRO ESERCIZIO DI ALGEBRA.
<BR>
<BR>Dato un numero intero n >=2. Se z (diverso da 0) è un numero complesso tale che:
<BR>
<BR>S ( k=0,...[n/4] ) (n , 4k)*z^(4k) =
<BR>
<BR>S ( k=0,...[(n-2)/4] ) (n , 4k+2)*z^(4k+2)
<BR>
<BR>
<BR>Provare che se l\'uguaglianza vale allora il numero è reale... Ho provato distinguendo vari tipi di n, così da togliermi il simbolo [] e con la forma trigonometrica e quella normale di un numero complesso ma mi incasino non
<BR>poco con i binomiali...
<BR>
<BR>legenda:
<BR>
<BR>S (k=0,...a) k = 0+1+2+3+4+...+a
<BR>cioè S stà per il simbolo di sommatoria
<BR>
<BR>[x] = parte intera di x;
<BR>
<BR>(a,b) coefficiente binomiale
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>

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