[G] Rapporto da provare

[sprmnt21]

USAMO \'98
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<BR>Let C1 and C2 be concentric circles, with C2 in the interior of C1. From a point A on C1 one draws the tangent AB to C2 (B on C2).
<BR>Let C be the second point of intersection of AB and C1, and let D be the midpoint of AB. A line passing through A intersects C2 at E and F in such a way that the perpendicular bisectors of DE and CF intersect at a point M on AB. Find, with proof, the ratio AM/MC.
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<BR>PS
<BR>anche se e\' scritto in maniera un po\' involuta, alla fine il problema si puo\' risolvere con appena due righe.
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[karl]

<!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/usamo.bmp"><!-- BBCode End -->
<BR>Si ha :
<BR>(1) AE/AC=AE/(2AB)=AE/(4AD)
<BR>Ora AE:AB=AB:AF--->AE=AB^2/AF=4AD^2/AF
<BR>e sostituendo in (1):
<BR>AE/AC=4AD^2/AF*1/(4AD)--->AE/AC=AD/AF
<BR>Questo prova che i triangoli AED e AFC sono simili
<BR>(con AE omologo di AC e AD di AF).
<BR>Ne viene che:
<BR>AED=ACF ovvero 180°-(DEF) =ACF----> (ACF)+(DEF)=180°
<BR>e questo dimostra che DEFC e\' inscrittibile in una crf.IL centro di tale crf.
<BR>e\' proprio M in quanto intersezione di due assi e pertanto DM=MC.
<BR>Posto ora AC=8x si ha:
<BR>AB=4x,AD=2x,DC=AC-AD=6x,DM=MC=DC/2=3x.
<BR>AM=AD+DM=2x+3x=5x.
<BR><!-- BBCode Start --><B>In definitiva:AM/MC=5/3</B><!-- BBCode End --><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 27-10-2004 22:14 ]