[N] funzione carina

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Deviniamo una funzione f(-) in questo modo: sia r un numero razionale rappresentabile con la frazione p/q con p e q primi fra loro allora
 
 f(r)=f(p/q)=(p+1)/(q+1)
 
 determinare, se a0=10\'000 quali interi avremo nella successione definita così: an+1=f(an)

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Ma con tutti i modi semplici che c\'erano di scrivere \'sto problema, dovevi fare proprio \'sto casino?? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 Allora, si parte da 10000/1, e si va avanti con 10001/2 e 10002/3, che può essere ridotto a 3334/1. Quindi si prosegue con 3335/2, 3336/3=1112/1, etc. Ogni volta si incrementano di 1 numeratore e denominatore, e si riduce la frazione ai minimi termini. Oltre a 10000, 3335 e 1112, quali altri interi fanno parte della sequenza?

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

ce provo
 
 Tutte le lettere indicano interi positivi.
 
 Il successivo intero e\' dato dal k tale che k=a/(a-1111) con il piu\' piccolo a>1111.
 
 questa equiavale a risolvere la (k-1)a = k*11*101 e dato che k e k-1 sono coprimi la possiamo riscrivere, ponendo a=a\'*k, come (k-1)a\'=11*101.
 
 Il piu\' piccolo k che risolve questa equazione e\' k=12 a cui corrisponde a\'=101 ed a=12*101 > 1111.
 
 L\'intero seguente e\' dato dal piu\' piccolo k tale che k = a/(a-11) questa ha come soluzioni k=2, a=22.
 
 Poi si dovrebbe andare a k= 1 e qui ci si resta indefinatamente.
 
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achillu · Messaggio da **achillu** » 01 gen 1970, 01:33

Il ragionamento fila se a e a - 1111 fossero coprimi per ogni 1212 > a > 1111; in questo caso tra 1112 e 12 gli elementi della successione sarebbero sempre del tipo a / (a - 1111) in quanto la frazione risulterebbe sempre ridotta ai minimi termini, e quindi il valore 12 sarebbe raggiunto.
 
 In alternativa, dovresti dimostrare che se ad un certo punto l\'elemento a / (a - 1111) fosse riducibile ai minimi termini, allora il valore 12 sarebbe comunque raggiunto.

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-28 12:45, achillu wrote:
 Il ragionamento fila se a e a - 1111 fossero coprimi per ogni 1212 > a > 1111; ...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 
 ho saltato il pezzo in cui veniva detto ceh ad ongi step oltre ad incrementare di 1 numeratore e denominatore si riduce la frazione ai minimi termini. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> .
 
 
 Vedo un po\' se l\'idea e\' ancora recuperabile.
 
 
 --- edit ---
 
 
 forse la cosa funziona cosi:
 
 
 in effetti conviene mettere 1112 nella forma a*b+1, cosicche\' la sequenza diventa:
 
 
 (a*b+1)/1, (a*b+2)/2, (a*b+3)/3, ..., (a*b+n)/n, ...
 
 dato che a e b sono primi e poniamo a < b, il primo elemento della successione che si puo\' semplificare e\' quello per cui n=a=11. Cioe\', nel nostro caso (11*101+11)/11 = 102.
 
 da qui si prosegue nelleo stesso modo.
 
 
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 28-10-2004 13:52 ]