[A] frazionari...

[Simo_the_wolf]

Introduzione teorica.
<BR>Indichiamo con [x] la parte intera di x cioè [x]=n sse n+1>x>=n. Indichiamo ora con {x} la parte frazionaria di x cioè {x}=x-[x].
<BR>
<BR>Esercizio
<BR>
<BR>Trovare tutti gli x reali tali che:
<BR>
<BR>{x}+{1/x}=1
<BR>

[Marco]

Gnek, gnek, gnek [sogghigno soddisfatto]...
<BR>
<BR>Sono arrivato uno!!
<BR>
<BR>Allora:
<BR>--------------------------------------
<BR><font color=white>Osservo che l\'eqz non ha soluzioni intreghe. Se x fosse soluzione intrega, avrei {x} = 0, quindi 1 > {1/x} = 1; assurdo.
<BR>
<BR>Eventualmente scambiando x e 1/x, possiamo supporre |x| > 1.
<BR>
<BR>Vediamo le soll. positive. {1/x} = 1/x. Allora 1 = {x} + 1/x = x - [x] + 1/x. Chiamo N:= 1 + [x].
<BR>
<BR>Esiste unica una soll. per ogni N intero > 2. (2 non è accettabile perché troverei x=1). Ciò è vero perché x+1/x è una funzione crescente e non limitata per x>=1. Queste sono tutte soluzioni. [facendo il conto si vede che x è la radice maggiore di x² -N x + 1 = 0 e che [x] fa proprio N - 1]. Cambiando x con 1/x (e quindi considerando la radice minore dello stesso polinomio) troviamo altre infinite soluzioni, e così ho trovato tutte le soluzioni positive.
<BR>
<BR>Considero ora gli x negativi. Vale la relazione {-x} = 1 - {x}, se x non è intrego. [se lo è, allora banalmente {-x} = 0].
<BR>
<BR>Questo significa che le soll. negative sono tutte e sole le soll. positive cambiate di segno. Fine della storia. </font> []
<BR>--------------------------------------
<BR><IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]