[G] Triangoli simili

phi · Messaggio da **phi** » 01 gen 1970, 01:33

Propongo un problema che magari per la maggior parte della gente che gira qui sarà molto facile, ma per me non lo è... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 Sia ABC un triangolo isoscele di base BC con l’angolo al vertice BAC minore di 60°. Si costruisca un altro triangolo PQR, di base QR, circoscritto e simile ad ABC, tale che il punto A appartenga al segmento QR e si abbia QA = 2AR.
 
 Io ho tentato di risolverlo, ma ho ancora dei dubbi... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> qualcuno mi potrebbe dire se la dimostrazione che segue è del tutto fuori strada o qualcosa di buono c’è? Grazie!
 (Se poi c’è chi vuole risolverlo come gli pare, ignori il mio tentativo, e faccia pure...) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 Si costruisca prima di tutto il triangolo A’B’C’ simile e circoscritto ad ABC, con B’C’//BC (AB’ = AC’ = BC; B appartenente a C’A’ e C appartenente a B’A’).
 Si costruiscano le circonferenze g e g’ circoscritte ad ABC’ e AB’C.
 Allora Q appartiene a g e R a g’ (AQB dovrà insistere sullo stesso arco di AC’B, che è congruente ad ABC; stesso ragionamento per ARC).
 
 (E fin qui mi sembra di esserci abbastanza. Ma l’unico modo in cui riesco a continuare senza che sbuchino fuori spiacevoli trisezioni di angoli è questo.)
 
 Si dica O il centro di g, O’ il centro di g’.
 Sulla retta O’A si stabilisca il punto M tale che O’A = 2AM
 Si costruisca inoltre una circonferenza g’’ di raggio 2O’A e centro O’.
 Siano Q ed S gli estremi di un segmento tali che Q app. a g, S app. a g’’, M app. a QS e QM = SM.
 
 (Dovrei specificare come diavolo si costruisce ‘sto segmento, vero? Il problema è che NON LO SO! Insomma, pigli riga e compasso e provi finché non ti viene giusto...) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
 
 Si dica R l’intersezione della retta QA con SO’. Si dica P l’intersezione delle rette QB ed RC.
 Il triangolo PQR è il triangolo cercato.
 
 Insomma, qualcosa di buono c’era? L’idea di giocare alle mediane nella seconda parte era stupida? Qualcuno mi dia un parere...

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

si sa se AB e AC sono i lati uguali di ABC?
 dal tuo tentativo sembra di sì. ma ne sei sicura? [ Questo Messaggio è stato Modificato da: cekko il 24-10-2004 17:14 ]

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

ho provato il tuo tentativo. mi pare che non sempre R sia nel semipiano compreso dalle rette su cui giacciono AB e AC. mi viene dalla parte di AB.

phi · Messaggio da **phi** » 01 gen 1970, 01:33

Che AB e AC sono i lati uguali lo dice il testo, perché parla di un triangolo isoscele con base BC. Quanto al semipiano, quale sarebbe? Non capisco che cosa intendi.

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-24 16:19, phi wrote:
 Propongo un problema che magari per la maggior parte della gente che gira qui sarà molto facile, ma per me non lo è... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 Sia ABC un triangolo isoscele di base BC con l’angolo al vertice BAC minore di 60°. Si costruisca un altro triangolo PQR, di base QR, circoscritto e simile ad ABC, tale che il punto A appartenga al segmento QR e si abbia QA = 2AR.
 
 Io ho tentato di risolverlo, ma ho ancora dei dubbi... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> qualcuno mi potrebbe dire se la dimostrazione che segue è del tutto fuori strada o qualcosa di buono c’è? Grazie!
 (Se poi c’è chi vuole risolverlo come gli pare, ignori il mio tentativo, e faccia pure...) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 Si costruisca prima di tutto il triangolo A’B’C’ simile e circoscritto ad ABC, con B’C’//BC (AB’ = AC’ = BC; B appartenente a C’A’ e C appartenente a B’A’).
 Si costruiscano le circonferenze g e g’ circoscritte ad ABC’ e AB’C.
 Allora Q appartiene a g e R a g’ (AQB dovrà insistere sullo stesso arco di AC’B, che è congruente ad ABC; stesso ragionamento per ARC).
 
 (E fin qui mi sembra di esserci abbastanza. Ma l’unico modo in cui riesco a continuare senza che sbuchino fuori spiacevoli trisezioni di angoli è questo.)
 ...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 fin qua sono riuscito a seguirti e mi sembra tutto buono.
 A questo punto, secondo me, basta trovare una retta per A che intercetta due corde su g e g\' tali che QA=2AR.
 
 Per ottenere questa retta si consideri che, se M ed N sono i punto medi di QA ed AR rispettivamente allora MA=2AN. Se K e\' il punto di OO\' tale che OK=2KO\' allora OM//KA//O\'N. Essendo OM ortogonale a QR anche KA lo e\'.
 Percio\' QR e\' la retta ortogonale a KA, con K come e\' stato definito poco sopra.
 
 A questo punto si hanno tutti gli elementi per continuare.
 
 PS
 
 Mi sembra che le ipotesi si isoscelita\' siano inessenziali, cosi come il 2 di QA/AR: il problema si puo\' risolvere per qualsiasi triangolo e qualsiasi rapporto QA/AR.

phi · Messaggio da **phi** » 01 gen 1970, 01:33

Ehi, grazie mille, sprmnt21! Adesso mi torna tutto. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 In fondo non era difficile, avrei dovuto pensarci anche da sola... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 Però le soluzioni di geometria sembrano quasi sempre facili quando le vedi scritte, ma quando le stai cercando tu sembra tutto così ingarbugliato... almeno a me succede così (per cui sarà meglio che faccia un po\' di esercizio... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> !)