[G] Un quadrilatero speciale

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Nella circonferenza di raggio unitario e\' inscritto
 il quadrilatero convesso ABCD tale che risulti:
 AB.BC.CD.DA>=4
 Dimostrare che tale quadrilatero e\' un quadrato.
 La soluzione in mio possesso mi lascia perplesso;
 vorrei confrontarla ( ed eventualmente confermarla)
 con le vostre.

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Come si definisce l\'operazione x.y???? E\' un per???

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

E\' un semplice \"per\".L\'ho scritto col punto perche\'
 mi sembrava esteticamente piu\' valido.Scusami.

NicolasBourbaki · Messaggio da **NicolasBourbaki** » 01 gen 1970, 01:33

Scusa Karl scrivo solo i passi fondamentali della sol. perchè avevo già steso uno straordinario paper quando si è verificato un guasto qui nel sistema della SSSUP ed ho perso tutto..lasciamo perdere.
 Osserviamo anzitutto che il quadrato verifica la rel.richiesta,basta allora far vedere che esso è l\'unico dei quadrilateri ciclici a verificarla.
 Siano a,b,c,d le metà delle misure degli angoli al centro che insistono su AB,BC,CD,DA con a+b+c+d=pigreco (in rad).Allora per il th.dei seni vale AB.BC.CD.DA=16sina.sinb.sinc.sind.
 A questo punto sfrutto il seg.lemma (che poi dimostrerò):
 
 LEMMA:
 siano a,b,c,d quattro angoli tali che a+b+c+d=pigreco.Allora
 sina.sinb.sinc.sind<=(1/4) e vale l\'uguale solo se a=b=c=d=(pigreco/4)
 
 Dal lemma si ha che se un quadrilatero non è equiangolo sicuramente non verifica la relazione data.
 Inoltre nessun rettangolo non equilatero la verifica,infatti AREA=d1.d2.sinalfa per ogni q.,ove d1,d2 sono le diag.,alfa è uno qualunque dei quattro angoli determinati da queste.
 
 Allora l\'unico q.ciclico a verificare la rel.data è il quadrato.
 
 Dim.del lemma (indicazione):
 dalla disug.tra le medie sina.sinb.sinc.sind<=((sina+sinb+sinc+sind)/4))^4 e l\'ugual.vale solo-tenendo conto del nostro vincolo-se a=b=c=d.
 Ma è facile mostrare che sina+sinb+sinc+sind<=2sqrt2 (casomai lo farò in un successivo messaggio) quindi sina.sinb.sinc.sind<=(1/4) e vale l\'ug. solo s gli angoli sono uhuali.
 
 
 Vabbè ci sono alcune cose da rifinire..ma direi che la sostanza è questa.

NicolasBourbaki · Messaggio da **NicolasBourbaki** » 01 gen 1970, 01:33

Una precisazione:con l\'espressione \"la relazione data\" o\"la relazione richiesta\" intendo quella presente nel testo del pb. ovvero AB.BC.CD.DA<=4.
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

NicolasBourbaki · Messaggio da **NicolasBourbaki** » 01 gen 1970, 01:33

Scusate..ovviamente c\'è il >= ...è la stanchezza !!

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Costruiamo il quadrilatero ciclico generico nella circonferenza, tracciamo i raggi condotti dal centro di esso, se il quadrilatero non è un quadrato, avremo 2 triangoli ottusangoli e 2 acutangoli.
 Applichiamo il teorema di carnot ad ogni singolo triangolo, chiamate a,b,c e d le misure dei lati e w,x,y,z quelle degli angoli avremo
 a2=12+12-2cosw
 b2=12+12-2cosx
 c2=12+12-2cosy
 d2=12+12-2cosz
 e quindi
 (abcd)2=24(1-cosw)(1-cosx)(1-cosy)(1-cosz)
 abcd=4sqrt[(1-cosx)(1-cosy)(1-cosz)(1-cosw)]
 poichè i due coseni sono 2 positivi e 2 negativi, ma la funzione cos(x) rende numeri nell\'intervallo [0,1] avremo che la radice è reale e compresa tra 0 e 1, sse la figura non è un quadrato, e quindi la tesi è dimostrata perchè il numero è minore di 4. Se è un quadrato tutti i coseni si azzerano e quindi abcd=4, il segno > quindi credo non possa valere mai, o forse mi sbaglio??? [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 24-10-2004 16:28 ]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

arrivati a questo punto, my dear boll..
 
 [concedetemi di rinominare gli angoli, please]
 
 (abcd)2 = 16(1-cos2A)(1-cos2B)(1-cos2C)(1-cos2D)= 44(sen²A)(sen²B)(sen²C)(sen²D), quindi
 abcd = 16·senA·senB·senC·senD, con A+B+C+D = pi.
 ora, teoricamente, applicando jensen alla funzione ln(sen(x)), oppure applicando AM-GM e poi jensen alla funzione sen(x), dovrebbe (e marco sul condizionale) uscire il risultato voluto.
 non ho carta e penna, però, quindi non posso garantire al 100%.

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

EDIT: ritiro tutto, capito l\'errore e non riesco a venirne a capo in altro modo che non sia quello di ma_go [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 25-10-2004 13:53 ]

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-24 18:09, MASSO wrote:
 In generale l\'area di un quadrilatero equivale al prodotto tra le diagonali per il seno dell\'angolo compreso; essendo nel caso sottoesame le diagonali massime quando uguali a due si ha che 4*sina>=4 è verificata solo per sina=1 e cioè per 90°.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Scusa l\'ignoranza, ma non capisco cosa c\'entri l\'area... La dimostrazione richiede di dimostrare che abcd>=4, spiegati meglio, per favore.

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

La mia soluzione e\' sostanzialmente uguale a quella di
 ma_go e giunge alla conclusione che sin(a)*sin(b)*sin(c)*sin(d)<=4
 che,insieme a quella data per ipotesi,produce la relazione
 sin(a)*sin(b)*sin(c)*sin(d)=4 che equivale ad a=b=c=d cioe\'
 al quadrato.
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 24-10-2004 20:17 ]

MASSO · Messaggio da **MASSO** » 01 gen 1970, 01:33

@Boll avevo semplicemente sparato un missile; passando per l\'area credevo si potesse risolvere il quesito sfruttando il teorema di Tolomeo ma poi non riuscendovi invece di cancellare totalmente il messaggio (per errore) ne ho postato un pezzo che risultava incomprensibile nonche errato (dato che mancava un diviso 2)

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

sfruttando Tolomeo:
 AB*CD+BC*AD=BD*AC<=4 (ovvio, in quanto le diagonali sono <= del diametro)
 ma per la disug. tra media aritmetica e geom.
 AB*CD+BC*AD>=2(sqrt(AB*CD*BC*AD)), da cui, confrontando il primo e l\'ultimo termine, si ha che
 2(sqrt(AB*CD*BC*AD))<=4 e cioè
 AB*CD*BC*AD<=4 e l\'uguaglianza vale sse le diagonali sono due diametri e AB*CD=BC*AD, cioè sse ABCD è un quadrato.
 ciao a Boll, Masso, e NicolasBourbaki

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-25 17:52, Biagio wrote:
 sfruttando Tolomeo:
 AB*CD+BC*AD=BD*AC<=4 (ovvio, in quanto le diagonali sono <= del diametro)
 ma per la disug. tra media aritmetica e geom.
 AB*CD+BC*AD>=2(sqrt(AB*CD*BC*AD)), da cui, confrontando il primo e l\'ultimo termine, si ha che
 2(sqrt(AB*CD*BC*AD))<=4 e cioè
 AB*CD*BC*AD<=4 e l\'uguaglianza vale sse le diagonali sono due diametri e AB*CD=BC*AD, cioè sse ABCD è un quadrato.
 ciao a Boll, Masso, e NicolasBourbaki
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 
 Bel problema e bella soluzione ! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">