[N]Evviva i Cubi

Leblanc · Messaggio da **Leblanc** » 01 gen 1970, 01:33

Up! Up!
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-27 09:26, EvaristeG wrote:
 trovare quando
 4(k+1)(16k^2-4k+9)
 è un quadrato...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 A me veniva 4(k+1)(16k^2-4k+ 7 ). Non vi torna? La mia idea, per andare avanti, è quella di sfruttare il fatto che
 MCD( (k+1),(16k^2-4k+7) ) | 27 e analizzare i vari sottocasi, pero\' alcuni non tornano... invece non ho trovato congruenze utili. Help!

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Mi ci sono arrovellato un po\' ma non ho cavato praticamente un ragno dal buco.
 
 Sono riuscito a vedere che se a3+33=b2 allora 63|b e 27|a+3 ma null\'altro...
 
 Mi sono ridotto a questo (nn so se + semplice o + difficile): per quali valori di k il numero 27k4-9k2+1 è un quadrato ? (a=27k²-3).
 
 Intanto dò la dimostrazione di quanto detto prima:
 
 Osservazione 1. 7|b
 noi sappiamo che i residui cubici mod 7 sono -1,0,+1 e quindi a3+33 può essere (-2,-1,0) mod 7. Ma i residui quadratici mod 7 sono 0,1,2,4 e quindi abbiamo che 7|b.
 
 Osservazione 2. 3|a
 Supponiamo per assurdo che (3,a)=1 . Allora avremo (a+3)(a²-3a+9)=b². Ma (a+3,a²-3a+9)=(a+3,9)=1 proprio perchè 3 non divide a. Quindi (a+3) e (a²-3a+9) devono essere entrambi dei quadrati. Ma per a>8 abbiamo (a-1)²>a²-3a+9>(a-2)². Per a minore o uguale a 8 abbiamo che a+3 è un quadrato solo per a=1 e a=6. Ma abbiamo supposto che 3 non divide a quindi controlliamo a=1 e vediamo che 28 non è un quadrato.
 
 Poi si lavora un pò con congruenze semplici mod 3 fino ad arrivare a:
 
 k(27k²-9k+1)=j²
 
 dove 27k-3=a e qui mi blocco (si può osservare semplicemente che k deve essere un quadrato).
 
 anzi sono andato avanti complicandomi mooolto la vita... Ho scoperto questa carinissima successione per ricorrenza così :
 I) b0=24
 II) b1=315
 III) bn+1=bn-bn-1-18
 
 Se in questa successione un qualche bi è un quadrato allora a=3bi-3 è tale che a3+33 è un quadrato ma nn ne viene fuori nulla (ho scoperto che condizione necessaria è che i==10 (mod 12)). <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 27-10-2004 22:23 ]

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

sì, ha ragione leblanc. scusate.

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Uhm, ma secondo voi ha soluzioni o no?!?
 Se puntate sul sì, la strada è quella di trovare una condizione sufficiente affinchè n sia soluzione e poi vedere quante condizioni necessarie riuscite a stringerle d\'intorno.
 Se puntate sul no, dovrete dimostrare che n^3+27 non è un quadrato...le strade sono appunto le congruenze, la scomposizione, l\'MCD tra i due fattori (che però non ha ancora detto tutto...), il fatto che i quadrati distano parecchio quando si sale nei naturali.
 
 Tra qualche giorno, se proprio non vien fuori nulla, posto la mia.

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

provo a concludere. spero di non aver sbagliato di nuovo i conti.
 si vede che 16k^2 -4k+7 non è un quadrato, perché è conguo a 3 mod4.
 poiché 27|MCD, necessariamente MCD è 3 o 27.
 in ogni caso, 3|16k^2 -4k+7.
 k=3k_1 +2 (scusate se non so usare l\'html. anzi, colgo l\'occasione per chiedere a qualche volenteroso se mi può mandare le formule più utili in questi casi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> )
 (3k_1 +3)(144k_1^2 +180k_1 +63)
 divido per 3 entrambi i fattori.
 (k_1 +1)(48k_1^2 +60k_1 +21)
 ma 3|il secondo fattore. quindi necessariamente 9 lo divide (altrimenti sarebbe diviso da una potenza pari e sarebbe un quadrato)
 k_1=3k_2 +2
 sostituisco e, dopo aver diviso per 3 entrambi i fattori e svolto i conti,
 (k_2 +1)(144k_2^2 + 252k_2 +111)
 come prima, necessariamente 9|il secondo fattore. impossibile.

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Non ho controllato i tuoi conti, ma così ad occhio rimane escluso un caso:
 se 27 | MCD, possiamo avere (in generale) 4 casi:
 1) MCD=27
 2) MCD=9
 3) MCD=3
 4) MCD=1
 E, anche escludendo il secondo (che potrebbe essere già compreso nei tuoi calcoli, visto che si basano solo sulla divisibilità per tre), rimane non trattato l\'ultimo caso, ovvero quello in cui i due fattori sono coprimi e quindi quadrati entrambi.

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

@Evariste: l\'ha detto all\'inizio il caso MCD=1 osservando che il 2° fattore non può essere mai un quadrato perchè ==3 (mod 4).
 @Cekko: il tuo ragionamento è sbagliato... Infatti può essere (nell\'ultima espressione) che k2+1 sia multiplo di 3.
 Siamo arrivati a (k2+1)(144k2²+252k2+111)
 Facciam un cambio di variabile e poniamo t=k2+1
 Otteniamo:t(144t²-36t+3)
 
 Abbiamo che il fattore destro è multiplo di 3 ma non di nove. Per essere un quadrato quindi bisogna che 3|t cioè t=3t1. Sostituendo ancora abbiamo:
 3t1(16*9*9*t1²-36*3*t1+3)=9t1(16*27*t1²-36*t1+1)
 
 A questo punto abbiamo che t1(16*27*t1²-36*t1+1) deve essere un quadrato. Ma adesso non so come andare avanti. Come nel caso da me prima citato, essendo i due fattori primi tra loro si può solo dire che t1 deve essere un quadrato. Purtroppo il distanziamento dei quadrati qui non funziona <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 30-10-2004 14:52 ]

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

@evariste: l\'ho trattato, come ha scritto simo.
 @simo: non mi pare: 3 può dividere il primo fattore, ma necessariamente 9 deve dividere il secondo, altrimenti il secondo fattore (che è divisibile per 3) sarebbe divisibile solo per una potenza pari di 3. ma, poiché l\'unico fattore che i due fattori possono avere in comune è una potenza di 3, perché tutta l\'espressione sia un quadrato, il secondo fattore dovrebbe essere un quadrato. cosa che non è. non torna?

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

con secondo fattore l\'ultima volta intendevo (144k2²+252k2+111).

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Dunque, metto un po\' d\'ordine ma lascio a voi l\'ultimo e più interessante passo. Quindi di seguito ci sarà solo un riassunto dei post precedenti in forma ordinata e qualche minima aggiunta.
 
 n3 + 27 = quadrato
 
 1) scomponiamo
 (n+3)(n2-3n+9)
 
 2) fattor comune
 MCD(n+3 ; n2-3n+9) | 27
 
 3) distinguiamo i casi :
 MCD=1
 I due fattori devono essere entrambi quadrati e dunque, in particolare, il secondo deve essere un quadrato, ma
 (n-1)2 > n2-3n+9 > (n-2)2
 non appena n > 8. Gli altri casi posson verificarsi a mano. Oppure si usa una delle tante congruenze dei post precedenti.
 MCD=3
 3|n+3 ==> n=3k ==> 9 | n2-3n+9=9k2-9k+9
 ==> 9 non divide n+3 (altrimenti MCD=9). Ma, dividendo per 9 il prodotto si ottiene
 (k+1)(3k2-3k+3)
 dove i fattori sono coprimi e quindi entrambi quadrati, ma allora
 9|3k2-3k+3
 ovvero
 k2-k+1==0 (mod 3)
 ma
 k2-k+1==k2+2k+1==(k+1)2 (mod 3)
 ed avevamo supposto che 9 non dividesse n+3, ovvero che 3 non dividesse k+1. Assurdo.
 MCD=9
 Possiamo dividere per 81 il prodotto ottenendo
 (n+3)/9 * (n2-3n+9)/9
 ponendo n=3k otteniamo
 (k+1)/3 * (k2-k+1)
 dove i due fattori sono coprimi e quindi entrambi quadrati. Ma
 k2 > k2-k+1 > (k-1)2
 e quindi non è possibile.
 MCD=27
 [...]
 
 Ecco, questo è interessante, ed è l\'ultimo caso rimasto...se ci fate attenzione, guardacaso è dove fallano gli approcci tentati fin qui!!
 Visto che è la parte importante del problema, ora che è chiaro dove concentrare gli sforzi, io aspetto ancora un po\' per vedere se a qualcuno viene la giusta idea o una qualsiasi giusta idea (sono convinto che ce ne sia più d\'una).
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 31-10-2004 19:06 ]

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-30 15:56, cekko wrote:
 
 @simo: non mi pare: 3 può dividere il primo fattore, ma necessariamente 9 deve dividere il secondo, altrimenti il secondo fattore (che è divisibile per 3) sarebbe divisibile solo per una potenza pari di 3. ma, poiché l\'unico fattore che i due fattori possono avere in comune è una potenza di 3, perché tutta l\'espressione sia un quadrato, il secondo fattore dovrebbe essere un quadrato. cosa che non è. non torna?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Allora tu dici che se ab è un quadrato e b è multiplo di 3 allora deve essere per forza multiplo di 9? non mi pare sia vero. Se a=27 e b=3 allora ab=81 cioè un quadrato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

la situazione non è la stessa. comincio dall\'inizio:
 l\'MCD tra i due fattori era 3 o 27.
 9 divideva il secondo fattore. ma non era possibile che 27 non lo dividesse, perché il secondo fattore non era un quadrato.
 rispetto al tuo \"esempio\" sapevamo in più che 9|b, oltre al fatto che b non è un quadrato e che se b=cd, dove c è un quadrato e d no, d può essere solo 3 se si vuole che ab sia un quadrato ((a,b)|27). [ Questo Messaggio è stato Modificato da: cekko il 03-11-2004 19:05 ]

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

ho capito, simo. avevo già diviso per un 3. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 era nell\'espressione precedente che doveva essere divisibile per 9.
 avevo capito male cosa avevo fatto sul foglio.