[N] parti intere

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Dimostrare che, per ogni n € N0, si ha che
 
 [(n-1)!/(n²+n)]
 
 è un numero pari
 
 P.S.: [x] indica la parte intera di x cioè [x]=m (m€Z m<=x e m+1>x) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 20-10-2004 22:27 ]

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao...oramai frequento poco questo sito...Vedo che questo problema è irrisolto. Dunque, inizio con il lemma (che in realtà è il fulcro della mia dimostrazione). p stà per numero primo.
 
 [(p-1)!/p] = ((p-1)!-p+1))/p
 Da notare che se questo numero è un intero (e lo è) deve essere pari in quanto il numeratore è pari mentre il denominatore no (nn fate troppo i precisini, la mia è solo una traccia di soluzione).
 Wilson ci dice che (p-1)!=kp-1 per un qualche k. Cercando questo k, troviamo
 k=[(p-1)!/p]+1
 Sostituendo e risolvendo si trova il risultato del lemma.
 Torniamo al problema. Distinguiamo i casi:
 caso 1) n e n+1 non sono primi.
 In questo caso il risultato è un numero intero pari, come si può facilmente verificare.
 
 caso 2) n è primo.
 la frazione diventa : (p-1)!/(p*p+1) che riscriviamo come:
 (p-1)!/p - (p-1)!/(p+1)
 Il secondo termine è intero (infatt se p è primo non lo è p+1) e multiplo di 10 (nn so: magari qualche caso piccolo da problemi: verificatelo). Quindi la parte intera delle unità è uguale a quella del primo termine, che per il lemma, è pari.
 
 caso 3) n+1 è primo.
 Ora la frazione si può scrivere come:
 (p-2)!/ ( (p-1)*p ). Si trova questa identità, se cerchiamo di ridurci al caso precedente:
 (p-2)!/ ( (p-1)*p )= (p-1)!/ (p*(p+1)) - ( (p-3)*(p-2)! ) / ( (p+1)*(p-1) )
 Ora basta riconoscere nell\'prodotto un intero pari (fatelo voi che vado di fretta) per verificare che la tesi è corretta.
 
 .........
 Nonostante la sicurezza ostentata nella dimostrazione, ciò che è stato scritto sopra può contenere svariati errori: nn fidatevi!
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 25-10-2004 17:11 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 25-10-2004 20:54 ]

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-25 17:08, info wrote:
 In questo caso il risultato è un numero intero pari, come si può facilmente verificare.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Prendiamo n=1, abbiamo 0!/2=1/2 che non è intero nè pari

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-25 17:08, info wrote:
 Wilson ci dice che (p-1)!=kp-1 per un qualche k. Cercando questo k, troviamo
 k=[(p-1)!/p]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 k=((p-1)! +1)/p

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-25 17:23, Boll wrote:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-25 17:08, info wrote:
 In questo caso il risultato è un numero intero pari, come si può facilmente verificare.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Prendiamo n=1, abbiamo 0!/2=1/2 che non è intero nè pari
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 ma [1/2]=0, che è pari

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Rispondo ad entrambi.
 
 X Boll. Come ho scritto nella soluzione, i casi banali sono lasciati al lettore. Trovami un contro-esempio sufficientemente alto. Da come avevo verificato oggi il tutto funzionava ma se vuoi in un altro momento mi metto a formalizzare anche quel caso.
 
 X Cecco. Kant giudicherebbe il tuo intervento decisamente analitico (spero che tu lo abbia studiato), ovverosia non progressivo. Ti ricordo il significato delle parentesi quadre....
 
 Questo è ciò che mi viene da rispondervi \'a caldo\'. Se volete controbattere....

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Lo so cekko <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">, il problema è che il risultato \"dentro\" la parte intera non è un pari, quindi non si può facilmente verificare.
 
 @ info: secondo me è da dimostrare e non è per nulla banale, la scrittura, trovami un controesempio è un pò sterile, in tutte le dimostrazioni di toeremi noti troverei difficile trovare \"un controesempio abbastanza alto\" [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 25-10-2004 20:11 ]

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

allora togliamo subito il dente:
 1) n ed n+1 nn possiedono fattori comuni;
 2) Tutti i fattori di n ed (n+1) sono minori o uguali ad (n-1);
 al punto 2 ci potrebbe fregare che qualche primo compare con potenza, ma quella potenza è sicuramente contenuta là dentro.
 Il caso n=1 o lo considerate tra i primi (ma allora dovreste specificare bene la seconda parte della dimostrazione) oppure banalmente lo fate a mano... Cosa ne dici?

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

no, kant non l\'ho studiato.
 il significato delle parentesi quadre lo conosco <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 [((p-1)! +1)/p]=/=[(p-1)!/p]+[1/p]
 infatti ((p-1)! +1)/p è intero, al contrario di (p-1)!/p.
 sbaglio?
 @boll: mi spiace ma non comprendo.
 se tu avessi [5/2] sarebbe pari, no? [ Questo Messaggio è stato Modificato da: cekko il 25-10-2004 20:23 ]

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Cekko hai ragione. Ho fatto un errore di trascrittura.
 k=[(p-1)!/p] +1
 D\'altronde solo con questo k i calcoli vengono come ho scritto...

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Nulla, cekko, stavo solo dicendo che il caso non era banale come diceva info... nulla di chè, mi sarò spiegato male

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-25 20:19, info wrote:
 allora togliamo subito il dente:
 1) n ed n+1 nn possiedono fattori comuni;
 2) Tutti i fattori di n ed (n+1) sono minori o uguali ad (n-1);
 al punto 2 ci potrebbe fregare che qualche primo compare con potenza, ma quella potenza è sicuramente contenuta là dentro.
 Il caso n=1 o lo considerate tra i primi (ma allora dovreste specificare bene la seconda parte della dimostrazione) oppure banalmente lo fate a mano... Cosa ne dici?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 n|n-1! sse n>=6, sul n+1 non saprei, e comunque non puoi essere sicuro che in alto ti rimanga un 2 che verifichi la tesi. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 25-10-2004 20:31 ]

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Sul fatto che funzioni solo per n>6 nn credo sia un problema dato che per casi minori si rientra nel caso2 e nel caso 3.
 Cmq il caso 3! / 4*5 mi impone qualche riflessione in più. C\'è quindi un caso in cui la potenza al denominatore non prima non divide il numeratore (quando n è una potenza di un primo per la precisione). Bisogna verificare che è l\'unico caso per completare il discorso. Cosa che nn credo sia difficile ma ora nn ho molta voglia... E poi mi sembra ovvio: se il numero a potenza è più grande (tipo 3^2), il numeratore sopra aumenta però molto più velocemente concedendo i fattori voluti.
 Per quanto riguarda la parità, un 2 rimane sempre ed anche quà bisognerebbe contare per formalizzare ma ora...no!
 
 Anche perchè l\'idea principale della soluzione stà nel secondo e nel terzo punto....