[N+] Le totienti si fanno serie...

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Siccome il problema è stato oggetto di discussione<sup>(1)</sup> giust\'appunto ieri notte, beh... provo a riproporlo qui sul forum, fidando nel fatto che possa trattarsi, al di là di tutto il resto, d\'una questione - in qualche modo - interessante. Se mi è concesso dirlo, non siamo di fronte ad un problema così ostico come a prima vista si potrebbe ritenere, anzi... Certo, presuppone innegabilmente qualche minima conoscenza di Analisi (cosa sia una serie numerica, come si possa studiarne il carattere, che significhi dire che la serie è divergente o convergente <!-- BBCode Start --><I>et similia</I><!-- BBCode End -->), ma - sebbene non ricada propriamente nello standard degli esercizi da Olimpiade - offre comunque l\'occasione di rivedere alcune peculiari proprietà della totiente di Eulero, per cui... suvvia, passatemela senza fare troppe storie!!! Ehm... ragazz<!-- BBCode Start --><B>e</B><!-- BBCode End -->?!? Non siate maliziose...
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<BR><!-- BBCode Start --><B><font color=red>Problema 1:</font></B><!-- BBCode End --> calcolare l\'insieme di tutte e sole le x \\in R tali che la serie sum<sub>n=1...+inf</sub> 1/[phi(n)]<sup>x</sup> sia convergente, posto che phi(-) denoti - al solito - la funzione dei totienti di Eulero.
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<BR><sup>(1)</sup>: \"se ne discuteva\" per modo di dire, visto che il mio gongolante interlocutore, probabilmente stizzito da un\'innocentissima osservazione sfuggitami di bocca, ha preferito interrompere su due piedi il \"dibattito\" e andar via senza neppure salutare. Umpfff, brutta storia, l\'ignoranza...
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<BR>\"Il diavolo ha verso Dio la visuale più ampia, ecco perché si tiene così lontano da lui.\" - F. W. Nietzsche, <!-- BBCode Start --><I>Così parlò Zaratustra</I><!-- BBCode End --><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 17-10-2004 15:35 ]

metafisic
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Messaggio da metafisic » 01 gen 1970, 01:33

So che ti irriterà il fatto che la soluzione non sia completa, ma mi rimetto nelle tue mani e nella tua infinita bontà che tante volte hai saputo dimostrarmi…bestia!
<BR>
<BR>Indichiamo con S(x)=sum(n=1…+oo)1/(phi(n))^x e con A(x)=sum(n=1…+oo)1/n^x
<BR>
<BR>È noto che A(x)<+oo per x>1 e che A(x) diverge per x<=1
<BR>
<BR>Se x<=0 allora il termine generale della serie non è infinitesimo e dunque non si può avere la convergenza.
<BR>
<BR>Supponiamo ora 0<x<=1.
<BR>
<BR>La disuguaglianza n>phi(n) è ovvia e discende direttamente dalla definizione della funzione. Si avrà allora:
<BR>
<BR>1/(phi(n))^x>1/n^x e allora:
<BR>
<BR>S(x)>=A(x) e quindi anche in questo caso non si ha convergenza.
<BR>
<BR>Ora arriviamo alla parte più delicata:
<BR>
<BR>Partendo dalla disuguaglianza(meno banale credo) phi(n)>=n^1/2 valida per ogni n eccetto un insieme finito di numeri, si ottine:
<BR>
<BR>A(x)>S(x) per x>2.
<BR>
<BR>A questo punto mi viene in mente questo:
<BR>
<BR>Definiamo gli insiemi B_y={n in N: phi(n)>=n^y)
<BR>
<BR>Dove 0<y<1.
<BR>
<BR>Se dimostro che il complementare di B_y è finito, allora avrei:
<BR>
<BR>S(x)=sum(n in B_y)1/(phi(n))^x+sum(n in C(B_y))1/(phi(n))^x
<BR>
<BR>Ora, il secondo addendo è finito mentre il primo è maggiorato da A(xy) che converge per x>1/y
<BR>
<BR>Il primo caso era ad esempio y=1/2.
<BR>
<BR>Se questa soluzione è valida(cosa improbabile, dato che sono venuto a sapere che si tratta di una open question), allora l’insieme di convergenza sarebbe {x>1, x reale}.
<BR>
<BR>Non bistrattarmi...tesssssoro
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
La compactesse est metaphisique.

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-03 17:16, metafisic wrote:
<BR>So che ti irriterà il fatto che la soluzione non sia completa, ma mi rimetto nelle tue mani e nella tua infinita bontà che tante volte hai saputo dimostrarmi… bestia!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Teco io buono? O se vogliamo, più in generale... Io buono?!? Asdf... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Supponiamo ora 0 < x <= 1. La disuguaglianza n > phi(n) è ovvia e discende direttamente dalla definizione della funzione.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Più che \"ovvia\", i\' avrei detto che quella diseguaglianza è \"definitivamente ovvia\", visto che: phi(1) = 1. Vabbe\', sei soltanto un <!-- BBCode Start --><I>pistola</I><!-- BBCode End -->, cosa vogliamo pretendere mai?!? Inoltre, caro, ti inviterei a usare la barra spaziatrice con minore parsimonia, soprattutto in presenza dei simboli \"<\" e \">\", ché diversamente - come tu stesso potrai accertare - i tuoi interventi sul forum risulteranno \"monchi\", lasciando per lo più interdetti i lettori meno \"smaliziati\", i.e. meno pronti a riconoscere la presenza di un problema legato piuttosto all\'html che non alla tua maldestra ridicola inettitudine e demenza...
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Partendo dalla disuguaglianza (meno banale credo) phi(n) >= n^1/2, valida per ogni n eccetto un insieme finito di numeri, si ottine: [...]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Mi spiace, ma se credi davvero che ti permetterei di utilizzare questa diseguaglianza senza averne fornito un <!-- BBCode Start --><I>proof</I><!-- BBCode End -->, beh... Temo proprio che dovrò darti una grossa delusione, sai, caro? In quanto al resto, preferisco non esprimermi... Di massima, somiglia tanto ai farfuglianti deliri d\'una puerpera appena sopravvissuta a un parto quadrigemino... <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 03-01-2005 19:00 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Comunque apprezzo il coraggio! Credevo che ormai questo problema fosse finito, assieme a tanti altri, nel dimenticatoio... <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

ReKaio
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Messaggio da ReKaio » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-03 18:59, HiTLeuLeR wrote:
<BR>Comunque apprezzo il coraggio! Credevo che ormai questo problema fosse finito, assieme a tanti altri, nel dimenticatoio... <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>ne rivendico la paternità ^^
_k_

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Ciao, Kappa, e auguri, caro! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>Mah, davvero se\' stato tu a propormelo?!? Bomf, ed io che mi vantavo di aver avuto un\'<!-- BBCode Start --><I>idea originale</I><!-- BBCode End --> su un problema... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 03-01-2005 19:40 ]

ReKaio
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Messaggio da ReKaio » 01 gen 1970, 01:33

purtroppo questo problema è una mia paranoia da almeno 3 anni ^^ l\'ho proposto circa a tutto il mondo, gh (risolverlo io nemmeno per idea, troppo avanzato, per adesso)
_k_

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Credimi, Kappa, è banalissimo!!! Certo, a patto di conoscere giusto i concetti più elementari relativi alla teoria delle serie numeriche: la definizione, le nozioni di convergenza/divergenza e i criteri del confronto. Il resto è pura inventiva... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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<BR>EDIT: la strada imboccata da giulio pare proprio quella giusta...
<BR>
<BR>RI-EDIT: in effetti, sul \"banalissimo\" avrei qualche riserva, ma vabbe\'... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 03-01-2005 20:32 ]

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