[TdN] MCD di una successione

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Ecco un problema simpatico e non troppo difficile. Provateci, gente!!!
 
 Definiamo
 a_n= 2^(3n) + 3^(6n+2) + 5^(6n+2).
 
 La domanda è : quanto fa MCD(a_0, ... , a_2004) ?
 
 PS : per chi volesse un po\' più di conti da fare, provate a vedere cosa succede se si calcola MCD(a_1 , ... , a_2004)? e iniziando da a_2 o da qualche altro termine?

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Risparmiandomi i dettagli solo per non privarvi del piacere di dedicare anche voi un po\' di tempo al problema di evaristo, mi limito qui di seguito a descrivere i passi cruciali della soluzione cui avrei pensato. Generoso, vero?
 
 Dunque, si tratta essenzialmente di dimostrare che:
 
 i) per ogni n = 1, 2, ..., 2003: gcd(an, an+1) <= 14;
 ii) per ogni n = 1, 2, ..., 2004: an = 0 mod 14;
 iii) gcd(a0, 14) = 7.
 
 Di qui, posto dn := gcd(an, an+1, ..., a2004), per ogni n = 0, 1, ..., 2003, si conclude prontamente che: dn = 14/[1 + delta(n)], ove delta(-) è l\'omonima funzione di Kronecker. Saluti...
 
 
 \"Il canto dei poeti vince di mille secoli il silenzio.\" - Ugo Foscolo [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 14-10-2004 21:42 ]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

uppo, sperando che la risposta arrivi rapida, ed elementare...

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

A parte il fatto che la delta di Kronecker ha due indici e non uno...
 
 (divagazione)
 se qualcuno se lo stesse chiedendo, la delta di Kr. è una funzione definita come:
 
 d(i,j)=1 se i=j
 d(i,j)=0 se i diverso da j
 
 per ogni coppia di interi i,j
 (fine divagazione)
 
 Vorrei solo far notare che la parte divertente nel risolvere un problema è pensarci, non fare i conti...cmq, mi associo all\'invito di ma_go.
 
 Per il resto...sì, la soluzione senza conti di HiTLeuLer è giusta, se ho ben interpretato quella delta(n)...

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-16 10:30, EvaristeG wrote:
 [...] Vorrei solo far notare che la parte divertente nel risolvere un problema è pensarci, non fare i conti...cmq, mi associo all\'invito di ma_go. [...]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 i) In fondo, se me lo consenti, i tuoi rimbrotti sono un tantinello fuori luogo, uffi... A voler essere obiettivi, su questo punto c\'è ancora di che divertirsi, cavolo! Sai che ti dico? Sei tanto cattivo, ecco... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
 
 ii) Innanzitutto, osserviamo che: 23 = 1 mod 7, onde dedurne (ancorché inutilmente) che: ord2(7) = 3. Del resto, dacché 7 è un numero primo (naturale): phi(7) = 6, là dove phi(-) denota - al solito - la totiente di Eulero. E allora, per il teorema di Euler-Fermat e i teoremi di base relativi alla teoria delle congruenze binomie, comunque scelto un n \\in N: an = 23n + 36n+2 + 56n+2 = 1n + 1n · 32 + 1n · 5 = 1 + 2 - 3 = 0 mod 7. Inoltre, se n è un intero positivo: an = 23n + 36n+2 + 56n+2 = 0 + 3 + 5 = 0 mod 2, onde concluderne che, per ogni n \\in N0: an = 0 mod 14, dacché: gcd(2, 7) = 1, q.e.d.
 
 iii) Come dimostrato al punto precedente: an = 0 mod 7, per ogni n \\in N. In particolare, pertanto: 7 | a0. Tuttavia: a0 = 1 + 32 + 52 = 1 + 3 + 5 = 1 mod 2, per cui - banalmente: gcd(a0, 14) = 7, q.e.d.
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-16 10:30, EvaristeG added:
 A parte il fatto che la delta di Kronecker ha due indici e non uno...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Per ogni n \\in N, suolsi porre: delta(n) := deltan,0. Non escluderei, tuttavia, che si possa trattare d\'una notazione \"semplificata\" adottata più che altro negli ambienti malfamati dell\'ingegneria, gh... Saluti e baci!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 
 \"Signori benpensanti,
 spero non vi dispiaccia
 se in cielo, in mezzo ai santi,
 Dio fra le sue braccia
 soffocherà il singhiozzo
 di quelle labbra smorte
 che all\'odio e all\'ignoranza
 preferirono la morte.\"
 
 Fabrizio De Andrè, Preghiera in gennaio [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-10-2004 15:13 ]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

uff
 la soluzione non mi soddisfa!
 tu hai dimostrato che 7 divide qualunque membro, mentre 2 non li divide tutti... non hai dimostrato che non esiste altro primo tale che p divida tutti i membri...
 io suggerirei un altro approccio:
 calcolatevi a0...

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-16 17:52, ma_go wrote:
 la soluzione non mi soddisfa!
 tu hai dimostrato che 7 divide qualunque membro, mentre 2 non li divide tutti... non hai dimostrato che non esiste altro primo tale che p divida tutti i membri...
 io suggerirei un altro approccio:
 calcolatevi a0...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Ehm... unitamente alla dimostrazione della condizione i) sopra enunciata, che a questo punto sono certo t\'industrierai in tutti i modi per ritrovare, la soluzione proposta può ritenersi non soddisfacente, di più!!!
 
 L\'approccio da te suggerito, poi... beh, l\'idea è lodevole (...), non c\'è dubbio! Peccato però che non serva proprio a una bella cippa di min***a(1) là dove si voglia calcolare il gcd(ak, ak+1, ..., a2004) per un qualche k intero positivo < 2004, come richiesto d\'altro canto nella generalizzazione del problema proposto da Evariste. Se vuoi, qualora non ti fosse chiaro il \"percorso\", potrei pur sempre chiedere a karl di farti uno schizzetto con il paint...
 
 (1): \"cippa di miniera\", celebre fungo falliforme delle cave del Sulcis.
 
 EDIT: uff, avevo scordato di metterci la nota! Trooooooppo chic...
 
 
 \"Ma quanto mi diverto...\" - HiTLeuLeR <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-10-2004 21:20 ]