[G] Feuerbach

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EvaristeG
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Messaggioda EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Mamma mia, quanto crescono i thread...dunque... <BR>1) marco ha ragione...la mia era una dimostrazione in cui i dettagli erano \"lasciati al lettore\" ovvero \"le imprecisioni non inficiano i risultati ma siete caldamente invitati a sbrogliarvele da soli\". <BR>2) ha già risposto SimoTheWolf sul fatto della conformità dell\'inversione e quindi confido che mantenga la promessa e che abbia buona memoria per i miei sproloqui! <BR>3) a proposito della conformità ... butto il sasso e poi nascondo la mano (=non vi dirò la dimostrazione) ... tutte e sole le trasformazioni conformi dello spazio in sè sono quelle che mandano sfere in sfere (anche con raggio infinito...). <BR>4) per quanto riguarda la dimostrazione della conformità di marco (tanto per rendere il favore ... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> ) \"per scalatura\" non è una giustificazione felice (vuoi dire che l\'omotetia e l\'inversione commutano ?? ) anche se il concetto intuitivo è giusto; inoltre, la dimostrazione per gli angoli formati con una sola retta non è proprio soddisfacente in quanto l\'inversione fa cose strane ai versi e potrebbe trasformare una somma in una differenza... (sia ben chiaro ... non sto infierendo per gusto sadico...sono particolari importanti, anche se forse riguardano errori su argomenti ben poco \"olimpici\"). <BR>Infine, noto che la discussione sta prendendo pieghe inaspettate : siamo arrivati a tolomeo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> !! <BR>Cmq, ben venga la geometria. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 26-11-2004 01:58 ]

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Marco
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Messaggioda Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE> <BR>On 2004-11-25 23:41, EvaristeG wrote: <BR>1) marco ha ragione...la mia era una dimostrazione in cui i dettagli erano \"lasciati al lettore\" ovvero \"le imprecisioni non inficiano i risultati ma siete caldamente invitati a sbrogliarvele da soli\". <BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End --> <BR>Un mio prof. sosteneva che solo così si può fare \"quella salutare confusione che rpecede la comprensione profonda... <BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE> <BR>4) per quanto riguarda la dimostrazione della conformità di marco (tanto per rendere il favore ... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> ) \"per scalatura\" non è una giustificazione felice (vuoi dire che l\'omotetia e l\'inversione commutano ?? ) anche se il concetto intuitivo è giusto; <BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End --> <BR>Credo che giocherò anch\'io il jolly dell\'\"ah, ma il mio era solo uno sketch e i dettagli, razzi vostri\"... Per la scalatura, beh, no, ovviamente. O meglio: commutano in senso lato... Se prendi un\'inversione i(-) e un\'omotetia h(-) concentriche, allora i = hih. E le omotetie sono conformi. <BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE> <BR>fa cose strane ai versi e potrebbe trasformare una somma in una differenza...</BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End --> <BR>Ok. L\'ho detto davvero un po\' troppo in fretta, ma dato che sto dimostrando un teorema vero, vedrai che i versi fanno esattamente quello che ci si aspetta da loro... mettete un po\' di freccine e tornerà tutto (almeno, spero...) <BR> <BR>[vabbè, per fare i ganzi si poteva dire che l\'inversione è una funzione antiolomorfa..., ma non era un\'argomentazione proprio così -er...- geometrica...] <BR> <BR>Alla prox. <BR> <BR>M.[addsig]
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Messaggioda EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Infatti non dicevo che fosse sbagliata, solo imprecisa... <BR>cmq per fare ancora più i ganzi, l\'inversione è la composizione di una proiezione stereografica, una riflessione rispetto ad un piano e una proiezione stereografica inversa, e dunque è conforme in quanto composizione di mappe conformi...(con qualche attenzione a domini e codomini, ma...)

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karl
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Messaggioda karl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/Inv.bmp"><!-- BBCode End --> <BR>Una dimostrazione sufficientemente elementare della richiesta <BR>\"conformita\'\" puo\' essere la seguente. <BR>Siano a e b due curve che s\'intersechi in P <BR>ed a\',b\' e P\' le curve ed il punto corrispondenti in una data <BR>inversione circolare (di polo O e caratteristica k). <BR>Da O si conducano il raggio OP ed un altro raggio che intersechi <BR>(a e b in Q ed R) e (a\'e b\' in Q\' ed R\'). <BR>Ora se X,X\' e Y,Y\' sono 2 coppie di punti corrispondenti allora <BR>si puo\' scrivere:X\'Y\'/XY=k/(OX.OY) <BR>[la cui dimostrazione si puo\' ricavare dal fatto che e\' <BR>OX.OX\'=OY.OY\'=k e che ,di conseguenza ,i triangoli OXY e OX\'Y\' <BR>sono simili]. <BR>Applichiamo tale relazione alle 3 coppie (P,P\'),(Q,Q\') e <BR>(R,R\'): <BR>P\'Q\'/PQ=k/(OP.OQ);P\'R\'/PR=k/(OP.OR);R\'Q\'/RQ=k/(OR.OQ); <BR>Se ora si fa tendere il raggio OQ al raggio OP i rapporti <BR>precedenti tendono tutti allo stesso valore k/OP^2 e pertanto <BR>i triangoli infinitesimi PQR e P\'Q\'R\' sono simili e dunque l\'angolo <BR>tra le curve a,b e\' uguale a quello delle curve corrispondenti a\',b\' <BR>( ma di verso opposto). <BR> <BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 28-11-2004 16:16 ]

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Simo_the_wolf
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Messaggioda Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Benedetto teo. di Feuerbach... Ultimamente ho trovato un\'altra dimostrazione di questo teorema e devo dire che mi ha colpito molto... Infatti a dispetto delle altre dimostrazioni che avevo visto, sempre lunghe e molto laboriose, più che altro inventive, questa si sbriga in 2 secondi con argomentazioni semplici, quasi disarmanti!!! Parola magica: numeri complessi. Infatti questa dimostrazione è anche una prova di come i numeri complessi servano molto in geometria e come possano essere usati. Ma iniziamo questa dimostrazione: <BR> <BR>Prendiamo la circonferenza goniometrica e un triangolo avente i vertici su di questa. Chiamiamo i vertici A,B,C e i rispettivi numeri complessi a,b,c che li individuano. <BR>Sappiamo, per osservazioni precedenti che il centro della circonferenza di Feu è il punto medio del segmento avente per vertici l\'ortocentro e il circocentro. Ma sappiamo, per la retta di Eulero che (chiamando H=ortocentro O=circocentro G=baricentro) G, H e O sono sulla stessa retta, in particolare G e H stanno dalla stessa parte rispetto ad O e vale OH=3OG e quindi sapendo che il numero complesso baricentro è G=(a+b+c)/3 allora H=a+b+c e quindi, detto F il centro della circ di Feu abbiamo F=(a+b+c)/2. Inoltre sappiamo anche che il raggio della circ di Feu è r<sub>F</sub>=1/2 (in quanto R=1 R=raggio circ circoscritta ad ABC). <BR> <BR>Troviamo le coordinate dell\'incentro. A questo punto dobbiamo introdurre tre altri numeri complessi tali che a=x², b=y², c=z² (con |x|=|y|=|z|=1). Si può facilmente vedere che, detti X,Y,Z i punti di incontro delle bisettrici con la circonferenza circoscritta ad ABC allora l\'incentro di ABC è l\'ortocentro di XYZ e i numeri complessi di questi numeri sono (in qualche ordine) -xy, -yz, -zx e quindi I=-xy-yz-zx (in quanto l\'ortocentro di un triangolo che ha i lati sulla circonferenza goniometrica sappiamo come si trova). <BR> <BR>Troviamo adesso il raggio della circonferenza inscritta al triangolo che chiamiamo r. Si sa che vale R²-OI²=2rR, ma essendo R=1, abbiamo: <BR>r=(1-OI²)/2 <BR>Ma OI non è alro che la distanza tra I e O, quindi è modulo del numero complesso relativo ad I e abbiamo allora: <BR>r=(1-|xy+yz+zx|²)/2 <BR>Ma xy+yz+zx=xyz(1/x+1/y+1/z) ma noi sappiamo che, detto z\' l\'inverso di un qualsiasi numero complesso z abbiamo |z|=|z\'|=z*z\' ma nel nostro caso z*(z\')=|z|=1 e quindi 1/z=z\'. Sfruttando altr proprietà dei moduli dei numeri complessi (|xy|=|x|*|y|, (x+y)\'=x\'+y\' |z|=|z\'|) abbiamo che: <BR>r=(1-|xyz(x\'+y\'+z\')|²)/2=(1-|x|*|y|*|z|*|(x+y+z)\'|²)/2=(1-|x+y+z|²)/2 <BR> <BR>Ora abbiamo che due circonferenza sono tangenti internamente se la distanza dei centri è uguale alla differenza dei raggi. Ma la differenza r<sub>F</sub>-r<sub>I</sub>=1/2-(1/2-|x+y+z|²/2)=|x+y+z|²/2 <BR>La distanza dai centri è data dal modulo della differenza dei numeri complessi che individuano rispettivamente I ed F. Abbiamo quindi: <BR>IF=|(a+b+c)/2-(-xy-yz-xz)|=|(x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz)/2|=|x+y+z|²/2 <BR>Quindi la tesi è verificata. Un procedimento analogo si usa anche per dimostrare la tangenza con gli excerchi.


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