[G] Feuerbach

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

Moderatore: tutor

Avatar utente
Simo_the_wolf
Moderatore
Messaggi: 1011
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pescara

Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Tutto Feuerbach minuto per minuto:
<BR>Osservando che in alcuni problemi può essere illuminante la conoscenza della circonferenza di Feuerbach (o dei nove punti) mi sembra utile proporre un esercizio dove si dimostrano le principali proprietà di questa circonferenza
<BR>
<BR>Detta circonf. di Feuerbach la circonferenza che passa per i tre punti medi dei lati di un triangolo ABC dimostrare che:
<BR>- la suddetta circonf. passa per i piedi delle altezze del triangolo ABC
<BR>- la suddetta circonf. abbia raggio R/2 (dove R è il raggio della circonf. circoscritta ad ABC)
<BR>- la suddetta circonf. abbia centro nel punto medio del segmento che ha per estremi l\'ortocentro e il circocentro del triangolo ABC
<BR>- la suddetta circonf. passa per i punti medi dei segmenti che hanno per vertici l\'ortocoentro e uno dei vertici del triangolo
<BR>- la suddetta circonf. è tangente alla circonferenza inscritta (e a quelle ex-inscritte) al triangolo ABC
<BR>
<BR>e chi più ne ha più ne metta <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>P.S.: per chi volesse aggiungiere qualche proprietà interessante dica pure...

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4475
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

*) tutti i triangoli inscritti in una data circonferenza e con un dato ortocentro hanno la stessa circonferenza dei nove punti
<BR>*) dati 4 punti a caso nel piano le quattro circonferenze di feuerbach dei triangoli ottenuti consciderandoli a tre a tre sono concorrenti
<BR>*) la circonferenza di feuerbach biseca ogni segmento dall\'ortocentro al cerchio circoscritto
<BR>*) le tangenti alla circ di feuerbach nei punti medi dei lati formano un triangolo simile al triangolo ortico del triangolo di partenza (tri ortico = tri ottenuto congiungendo i piedi delle altezze)
<BR>*) se A,B,C sono i vertici e H è l\'ortocentro i cerchi di feuerbach dei triangoli ABH, BCH, CAH, ABC sono lo stesso
<BR>*) il cerchio di feuerbach del sistema ortocentrico degli excentri e dell\'incentro (sistema di quattro punti in cui presine cmq 3 il quarto è il loro ortocentro) è il cerchio circoscritto al triangolo di partenza
<BR>
<BR>altre per ora non me ne vengono in mente
<BR>
<BR>buon lavoro.

Avatar utente
karl
Messaggi: 926
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Le proprieta\' indicate da Simo ed EvaristeG sono
<BR>reperibili con relative dimostrazioni su molti testi
<BR>di geometria sia di base che di approfondimento.
<BR>In sostituzione vorrei segnalare un sito (del
<BR>resto gia\' noto..e frequentato da alcuni utenti
<BR>di questo Forum)dove e\' possibile reperire molte
<BR>delle dimostrazione in questione ,alcune anche
<BR>abbastanza originali, di Darij Grinberg (un asso
<BR>in materia, a mio parere).
<BR>http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=14927

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4475
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Ma forse se anche qualcheduno ha voglia di dimostrare queste proprietà senza doverle andare a vedere non sarebbe male...non dico a te karl...magari c\'è qualcun altro che ha bisogno di farsi le ossa su questi problemi semplici.
<BR>lasciamo a tutti del pane per i propri denti...

Avatar utente
karl
Messaggi: 926
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Se uno vuol farsi le ossa se le fa anche se magari
<BR>possiede il materiale da consultare o sa dove
<BR>reperirlo.Personalmente pensavo a quelli che
<BR>vogliono puntualizzare certe conoscenze o eliminare qualche
<BR>dubbio o,perche\' no, piu\' semplicemente confrontarsi.
<BR>Ho il vago timore che su questo Forum cominci a serpeggiare
<BR>l\'idea del \"Pensiero Unico\" (.. mi vengono i brividi).
<BR>Naturalmente niente di personale verso chiunque.

Avatar utente
Marco
Site Admin
Messaggi: 1331
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: IMO '93

Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Ciao. Nonostante sia un po\' troppo \"stagionato\" per potermi classificare tra i novizi del problem-solving, le mie scarsissime abilità in geometria piana mi portano ad annoverarmi tra quelli che Evariste descrive come \"qualcuno che ha bisogno di farsi le ossa su questi problemi semplici.\"
<BR>
<BR>Inoltre, dato che chi ha voglia di sbirciare le soluzioni, sa già dove trovarle, nessuno se ne avrà a male se posto anch\'io le mie... ve le metto al solito in bianco, per non rovinare la festa ai volenterosi. Ma Evariste ha assolutamente ragione: questi esercizi sono un\'ottima palestra. Mi associo nell\'esortare i \"giovani\" a tentarli.
<BR>
<BR>La mia dimostrazione è volutamente molto \"chiacchierata\", quindi non fatevi spaventare dalla lunghezza: è facile.
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>- la suddetta circonf. passa per i piedi delle altezze del triangolo ABC
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Dim.:<font color=white> Indico con A, B, C i vertici del triangolo, O il circocentro, G il baricentro, M_A, M_B, M_C i punti medi dei lati e H_A, H_B, H_C i piedi delle altezze. Inoltre chiamo F il centro di crf Feurbach (ossia il circocentro di M_A M_B M_C), G\' e F\' le proiezioni ortogonali di G e F su AB.
<BR>
<BR>Osservo che, per la nota<sup>*</sup> proprietà delle mediane, che sono divise dal baricentro in parti una doppia dell\'altra, il triangolo M_A M_B M_C è ottenuto con l\'omotetia h(-), di centro G e rapporto -1/2. Questo fatto ci permette di stabilire un rapporto 1:2 di proporzionalità tra punti corrisposti da h(-). Per il teorema di Talete, tale rapporto di proporzionalità viene preservato dalle proiezioni ortogonali.
<BR>
<BR>Dato che le omotetie mandano circonferenze in circonferenze e mantengono la proporzionalità delle distanze, h(O) = F. Inoltre, la pr.ort. su AB di C è H_C (per definizione) e di O è M_C (dato che O è sull\'asse di AB). Metto insieme tutte queste osservazioni:
<BR>
<BR>h(C) = M_C ==> (C + 2 M_C)/3 = G (proporzionalità di punti corrisposti da h(-)). Proietto su AB e trovo
<BR>
<BR>(H_C + 2 M_C)/3 = G\'. (1)
<BR>
<BR>h(O) = F ==> (O + 2 F)/3 = G. Proietto su AB e trovo
<BR>
<BR>(M_C + 2 F\')/3 = G\'. (2)
<BR>
<BR>Uguaglio (1) e (2), risolvo per F\' e trovo F\' = (H_C + M_C)/2, che significa che F\' è il punto medio tra il piede dell\'altezza e il punto medio del lato. Allora F F\' H_C è congruente a F F\' M_C (tr. rettangoli, con cateti uguali). Quindi F M_C = F H_C sse H_C appartiene alla crf di centro F e passante per M_C. Analogamente per H_A e H_B. </font>[]
<BR>
<BR>(*) Nella dimostrazione ho utilizzato una ben nota proprietà dei triangoli. Come esercizio supplementare a margine, solo per i novellini, la sapete dimostrare?
<BR>
<BR>Ok. Scusate se sono salito un po\' in cattedra...
<BR>
<BR>Un saluto a tutti.
<BR>
<BR>M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."

Avatar utente
Marco
Site Admin
Messaggi: 1331
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: IMO '93

Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-10-14 13:40, karl wrote:
<BR>[...]Ho il vago timore che su questo Forum cominci a serpeggiare
<BR>l\'idea del \"Pensiero Unico\" (.. mi vengono i brividi).
<BR>Naturalmente niente di personale verso chiunque.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>[OT] per Karl. Ehm... che cosa intendi esattamente per Pesiero Unico? Quali sono i tuoi timori? Che cosa potrebbe accadere di così brutto? Vorrei capire meglio. Grazie e ciao. M.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."

Avatar utente
karl
Messaggi: 926
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Mi riferisco al fatto che,negli ultimi giorni,sono venute
<BR>fuori tante di quelle regole da seguire sul come ,sul quanto e sul
<BR>quando che non mi raccapezzo piu\'.L\'unica cosa che mi ricordo
<BR>allo stato attuale,e\' che devo mettere una [G] per la geometria
<BR>(l\'unico campo in cui riesco talvolta a dire qualcosa....)
<BR>e cosi\' faccio.
<BR>Saluti.
<BR>

fph
Site Admin
Messaggi: 3282
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Messaggio da fph » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-10-14 14:49, karl wrote:
<BR>Mi riferisco al fatto che,negli ultimi giorni,sono venute
<BR>fuori tante di quelle regole da seguire sul come ,sul quanto e sul
<BR>quando che non mi raccapezzo piu\'.L\'unica cosa che mi ricordo
<BR>allo stato attuale,e\' che devo mettere una [G] per la geometria
<BR>(l\'unico campo in cui riesco talvolta a dire qualcosa....)
<BR>e cosi\' faccio.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Trovo abbastanza fastidiosa questa \"frecciatina\" al sistema di regole di cui sono il principale responsabile... Prima di tutto perche\' mi sembra abbastanza a sproposito: nessun \"pensiero unico\", nessuno e\' mai andato a porre limitazioni sul *contenuto* dei messaggi (a parte l\'ovvia restrizione che devono avere una vaga attinenza con la matematica e/o le olimpiadi), ma solo sul modo in cui vengono presentati.
<BR>Come ho gia\' detto, mi sembra che tutte quelle norme (che, ricordo, sono ancora una proposta non ufficiale) siano dettate dal buon senso e dal rispetto verso gli altri utenti: il fatto di postare un messaggio nella sezione giusta, col titolo giusto o di aggiungere quella [G] che trovi tanto fastidiosa rende il forum piu\' leggibile per tutti.
<BR>
<BR>Mi rendo conto che le regole cosi\' come sono sono parecchie, ma ognuna di esse nasce dall\'effettivo bisogno di \"correggere\" alcuni comportamenti visti su questo forum (che, me ne rendo conto, sta diventando sempre meno adatto per i ragazzi che si avvicinano alle Olimpiadi e vogliono trovare qualche problema per tenersi in allenamento, un po\' di teoria o qualche \"dritta\" per il problem-solving). Se tutti scrivessero come su mathlinks (http://mathlinks.ro, ma credo che li\' ci sia dietro parecchio lavoro di \"taglio\" da parte dei moderatori, ben piu\' aggressivo della mia innocente proposta di regole) non ci sarebbe bisogno di precisare queste cose, ma... (ah, se questo forum fosse come Mathlinks! Speranza quantomeno utopica <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> )
<BR>Inoltre la proposta di regole era accompagnata da un invito aperto a tutti a discuterne e ad aiutarmi a migliorarla. Alcuni utenti hanno lasciato commenti e suggerimenti in quel thread; se sei insoddisfatto sei invitato a darci una mano invece di lanciare commenti qua e là.
<BR>
<BR>ciao,
<BR>--federico
<BR>
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

Avatar utente
Marco
Site Admin
Messaggi: 1331
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: IMO '93

Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Ciao. Off-topic, per off-topic, tanto vale...
<BR>
<BR>Non ho trovatoparticolarmente fastidiosa la serie di regole di buon senso che Fph ci ha steso (rendendoci, tra l\'altro, un ottimo servigio, IMHO). Ti faccio un paragone cretino: tutti abbiamo l\'automobile e sappiamo bene quanto sarebbe bello se, girando in città, si potesse parcheggiare sempre esattamente dove ci serve. Purtroppo ciò non è possibile, altrimenti l\'unica cosa che otterremmo è una teorica maggiore libertà, ma in pratica solo un gigantesco ingorgo in cui nessuno va più da alcuna parte.
<BR>
<BR>In questo Forum è più o meno lo stesso. Se tutti postassero ovunque e a caso, otterremmo solo un clamoroso guazzabuglio, spostando la gente veramente interessata il pb.zolvin\' su altri siti, e tenendo solo i cazzeggiatori. Tieni presente che, sono gli stessi utenti del Forum che hanno acclamato come intelligenti, utili e non particolarmente restrittive le norme contenute nella proposta di Fph. E la maggior parte di essi si è adeguata sponte sua. Non ci trovo nulla di scandaloso e non è un segreto che esorto tutti a leggerle e seguirle. Non è questione di libertà, ma piuttosto di buona educazione. Tutto lì. [/OT]
<BR>
<BR>Ma... sbaglio, o stavamo parlando di cerchi di Feuerbach? Io possiedo un\'antica riminiscenza, che trattava di \"cerchi di Apollonio\". Sono la stessa cosa oppure si tratta di ql.sa completamente differente? [Lo so, lo so, su Mathworld lo troverei subito... ma non ne ho voglia...]
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."

Avatar utente
HarryPotter
Moderatore
Messaggi: 354
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pavia

Messaggio da HarryPotter » 01 gen 1970, 01:33

Se non mi sbaglio una circonferenza di Apollonio è il luogo geometrico dei punti tali che la distanza da un punto F1 (a;b) è uguale a k volte la distanza da un altro punto F2 (c;d), o meglio:
<BR>
<BR>Circ. di Apollonio= [P t.c. d(P;F1) = d(P;F2)]
<BR>
<BR>Ovviamente con k diverso da 1, perché altrimente sarebbe l\'asse del segmento F1F2.
<BR>
<BR>Si può facilmente vedere come questo luogo geometrico sia una circonferenza perché per la definizione abbiamo:
<BR>
<BR>(x - a)^2 + (y - b)^2 = k^2[(x - c)^2 + (y - d)^2]
<BR>
<BR>da cui:
<BR>
<BR>(k^2 - 1)x^2 + (k^2 - 1)y^2 + (...)x + (...)y + (...) = 0
<BR>
<BR>Notiamo pertanto che è una conica senza il termine xy e con i coefficienti di x^2 e di y^2 uguali e quindi è una circonferenza.
<BR>
<BR>Possiamo notare che non è degenere perché ci sono sempre due punti del luogo geometrico sulla retta che passa per F1 e F2 uno interno al segmento e uno fuori.
<BR>
<BR>Spero di non essermi confuso con qualcosa d\'altro <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

Avatar utente
Marco
Site Admin
Messaggi: 1331
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: IMO '93

Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Ok. Grazie per la consulenza. Quindi, evidentemente, non c\'entrano un tubo!!
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."

Avatar utente
karl
Messaggi: 926
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Scusate se continuo nell\'OT ma non vorrei passare per
<BR>quello che non vuole le regole.A conoscermi, si sarebbe
<BR>costretti a dire di me proprio l\'opposto.La mia \"frecciatina\"
<BR>e\' nata dal fatto che ,appena io ho detto che molte delle
<BR>notizie sul triangolo dei nove punti erano reperibili su
<BR>normali testi e su qualche sito specializzato,mi e\' stato
<BR>praticamente detto che dovevo stare zitto.
<BR>Ecco perche\' ho subito pensato al \"pensiero unico\" (o di pochi)
<BR>al quale mi sarei dovuto adeguare e questo e\' l\'unica cosa
<BR>alla quale non mi potrei adattare facilmente (come tutti ,del resto).
<BR>Quanto precede tocca solo il mio modo di pensare su certi
<BR>argomenti e non vuole in alcun modo essere espressione
<BR>di antagonismo nei riguardi di qualcuno.
<BR>Poiche\' mi trovo, vorrei sapere per quali denti e\' la dimostrazione
<BR>che<!-- BBCode Start --><B>\" il cerchio di Feuerbach e\' tangente all\'incerchio e agli excerchi\"</B><!-- BBCode End -->.
<BR>Sui miei denti avrei qualche dubbio anche se ho tentato, con qualche
<BR>sia pur parziale risultato, di utilizzare l\'inversione circolare( come suggerisce
<BR>il grande Grinberg).
<BR>Saluti.
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 15-10-2004 15:45 ]

Avatar utente
karl
Messaggi: 926
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Incredibile ma vero! Marco ed io abbiamo postato
<BR>entrambi alle 15.40.E poi Einstein dice che la
<BR>contemporaneita\' di spazio e tempo non esiste!
<BR>(o sbaglio?)
<BR>

Avatar utente
Simo_the_wolf
Moderatore
Messaggi: 1011
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pescara

Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

@karl: io ho scritto appunto potrebbe essere utile dimostrare qeste proprietà ecc.. appunto perchè se uno le vede solo poi magari non se le ricorda ma se le dimostra DA SOLO se le ricorderà sicuramente. Ho notato allo stage di Pisa che la circ. di Feuerbach era risultata mooolto utile in alcuni problemi e per questo, ribadisco, mi sembrava utile fare esercizi di questo genere.
<BR>Per quanto riguarda la difficoltà, mi pare che quasi tutti i punti proposti da me e da Evariste siano fattibili (magari con qualche illuminante conoscenza come la retta di Eulero) a parte la parte della tangenza del cerchio a tutte quelle altre belle circonf. (che, a dir la verità non ci sono ancora riuscito io).
<BR>Cmq ritornando al discorso di prima quello che hai fatto tu è la stessa cosa di andare su un forum ad esempio, che ha come esercizio un problema IMO e dire: guardate che su kalva c\'è la sol del problema.... e mi pare un pò OT....
<BR>
<BR>Ritornando al problema: i primi punti sono abbastanza fattibili, come ho già detto, magari sapendo qualche cosa sulla retta di Eulero... Per quanto riguarda il punto ostico, suggerisco proprio a karl (visto la sua perizia in geo) di risolverlo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

Bloccato

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 2 ospiti