[N] polinomi notturni

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Tutti sanno che x-1|xn+1-1 per qualsiasi n naturale ma per quali n avremo x-1|(xn+1-1)/(x-1) cioè x-1|xn+xn-1+...+1 (espimere la condizione necessaria in relazione a x)?
 Più in generale: quando (xn+1-1)/(x-1)s è intero ? (determinare n in funzione di s e x)
 
 [EDIT] correzione grosso errore di formulazione [/EDIT]
 
 \"Sbagliando, s\'impara\" Q.Qualcuno [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 12-10-2004 22:25 ]

mario86x · Messaggio da **mario86x** » 01 gen 1970, 01:33

per qualsiasi x naturale maggiore di 1?

intendevi proprio gli x naturali o ti sei confuso?

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-10 21:01, Simo_the_wolf wrote:
 [...] per qualsiasi x naturale maggiore di 1 [...].
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 L\'unica risposta al problema, così come formulato, è inevitabilmente \"per nessun n \\in N\". Difatti, assumiamo per assurdo ch\'esista un n intero >= 0 tale che, per ogni x \\in Z, con x > 1: (x-1) | sum<sum>k=0...n xk. Posto x - 1 = y, la condizione indicata equivale ad ammettere che, per ogni y \\in N0: y | sumk=0...n (1 + y)k, ovvero che: sumk=0...n (1+y)k = 0 mod y.
 
 E tuttavia, fissato in modo arbitrario un y intero > 0: sumk=0...n (1+y)k = sumk=0...n 1 = n + 1 mod y, cosicché: y | k=0...n (1+y)k sse y | (n+1), il che si realizza soltanto in un numero finito di casi. Di qui l\'assurdo!!!
 
 Come già mario86 lasciava intendere, è probabile che simo abbia malposto il quesito... Maaah, staremo a vedere!
 
 
 \"Detesto su tutto il pressapochismo tipico di questo mio tempo.\" - Oscar Wilde [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 10-10-2004 23:10 ]

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Elementarizzando la risposta di Eulero (spero che non se l\'abbia
 a male e non mi ..fulmini) si puo\' dire che,effettuando la divisione tra
 x^(n)+x^(n-1)+...+x+1 ed x-1, alla fine si puo\' scrivere:
 (x^(n)+x^(n-1)+...+x+1 )/(x-1)=
 =1x^(n-1)+2x^(n-2)+3x^(n-3)+...+nx+1 +(n+1)/(x-1).
 Evidentemente ,assegnato n (intero),c\'e\' solo un numero finito di valori di x
 che possono rendere intera la frazione (n+1)/(x-1). [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 11-10-2004 08:28 ]

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Scusate... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> Ho malposto la domanda... Infatti bisogna esprimere la condizione di n dipendente da x-1 (e anche s nel caso più generale). Nel frattempo correggo il post iniziale (tra l\'altro si può arrivare anche ad una tesi più forte della mia mi pare...)