[N] numeri perfetti

[Simo_the_wolf]

Dimostrare che c\'è una corrispondenza biunivoca tra l\'insieme dei numeri perfetti pari e i primi di Marsenne.
<BR>
<BR>DEF 1: un numero si dice perfetto se è uguale alla somma di tutti i suoi divisori eccetto il numero stesso (6 è perfetto perchè 6=1+2+3)
<BR>
<BR>DEF 2: un primo p è detto di Marsenne se q|p+1 & q primo ==> q=2 (p=2^k-1)

[HiTLeuLeR]

In buona sostanza, si tratta di dimostrare che un intero positivo n di valenza pari è un numero perfetto sse n = 2^p-1 · M_p, ove p è un primo naturale ed M_p un primo di Mersenne. Il fatto ch\'esista una corrispondenza biunivoca fra i numeri perfetti di valenza pari e i primi di Mersenne è conseguenza diretta del risultato precedente, che costituisce di fatto una condizione necessaria e sufficiente. Ciò premesso...
<BR>
<BR>Mostriamo innanzitutto che, se p è un primo naturale ed M_p un primo di Mersenne, allora n = 2^p-1 · M_p è perfetto. Infatti, nell\'ipotesi anzidetta, per la moltiplicativà delle funzioni dei divisori⁽¹⁾, avviene che:
<BR>
<BR><center>sigma₁(n) = sigma₁(2^p-1 · M_p) = sigma₁(2^p-1) · sigma₁(M_p),</center>
<BR>
<BR>pur d\'osservare che, per ogni k \\in N₀: M_k = 1 mod 2, perciocché: gcd(2^p-1, M_p) = 1. Ora, tuttavia: sigma₁(2^p-1) = [Vedi nota ⁽¹⁾] = 2^p - 1 = M_p, mentre: sigma₁(M_p) = 1 + M_p = 2^p, avendo supposto che M_p sia un primo di Mersenne. E allora: sigma₁(n) = M_p · 2^p = 2n, onde dedurne che la somma dei divisori propri di n è pari a 2n - n = n, e quindi che n è un numero perfetto. Il fatto che n sia di valenza pari, segue poi dall\'osservazione che, se p è un primo naturale, allora: p - 1 >= 1, e pertanto: n = 2^p-1 · M_p = 0 mod 2.
<BR>
<BR>Viceversa, proviamo che, se n è un numero perfetto di valenza pari, allora necessariamente esiste un primo naturale p tale che: n = 2^p-1 · M_p, ove M_p è un primo di Mersenne. Poiché n è pari, esistono p, q \\in N, con p > 1 e q = 1 mod 2, tali che: n = 2^p-1 · q. E allora: gcd(2^p-1, q), cosicché - una volta ancora per la moltiplicatività delle funzioni dei divisori: sigma₁(n) = sigma₁(2^p-1 · q) = sigma₁(2^p-1) · sigma₁(q) = (2^p - 1) · sigma₁(q). D\'altro canto, avendo assunto che n sia un numero perfetto: sigma₁(n) = 2n = 2^p · q, onde dedurne - in definitiva - che: 2^p · q = (2^p - 1) · sigma₁(q), ovvero: sigma₁(q) = (2^p · q)/(2^p - 1) = q + q/(2^p - 1).
<BR>
<BR>Ora, notiamo che q e sigma₁(q) sono degli interi e che inoltre⁽²⁾: sigma₁(q) >= 1 + q > q, cosicché - <!-- BBCode Start --><I>a fortiori</I><!-- BBCode End -->: q/(2^p - 1) \\in N₀. Ergo, 2^p - 1 è un divisore di q, e così pure q è divisibile per m := q/(2^p - 1). Del resto, p è maggiore di 1, per cui: 2^p - 1 > 1, e dunque: 1 <= m < q. E poiché, come si è visto: sigma₁(q) = q + q/(2^p - 1), tanto è sufficiente per concludere che sigma₁(q) è somma di due divisori interi positivi e distinti di q. D\'altro canto, sigma₁(q) è la somma di <!-- BBCode Start --><I>tutti e soli</I><!-- BBCode End --> i divisori interi positivi di q, onde dedurne - per necessità - che q possiede esclusivamente due divisori interi positivi. Dacché poi q è maggiore di 1, ne discende finalmente che q è un numero primo. E allora: q + 1 = sigma₁(q) = q + q/(2^p - 1) ==> q/(2^p - 1) = 1, per cui: q = 2^p - 1 = M_p, ove {M_k: k \\in N} rappresenta la successione dei numeri di Mersenne. Siccome q è primo e q = M_p, ne viene che M_p è un primo di Mersenne. Allora, p \\in N è a sua volta un numero primo⁽³⁾. Di qui, essendo n = 2^p-1 · q = 2^p-1 · M_p, fa seguito la tesi, q.e.d.
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<BR>
<BR>⁽¹⁾: per ogni r \\in R ed ogni n \\in N₀, si pone sigma_r(n) := sum[d | n] d^r, ove la somma a secondo membro s\'intende estesa a tutti e soli i divisori interi positivi di n. Gli elementi dell\'insieme {sigma_r(-): r \\in R} sono detti, classicamente, le funzioni dei divisori. Si dimostrano agevolmente i seguenti risultati notevoli:
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<BR><!-- BBCode Start --><B>Proposizione (H.1):</B><!-- BBCode End --> per ogni r \\in R, sigma_r(-) è una funzione moltiplicativa, ovvero è tale che, comunque scelti m, n \\in N₀, con gcd(m, n) = 1: sigma_r(m · n) = sigma_r(m) · sigma_r(n).
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Proposizione (H.2):</B><!-- BBCode End --> se p è un numero primo naturale ed n un qualsivoglia intero non negativo: sigma_r(pⁿ) = [p^(n+1)r - 1]/(p^r - 1), qualunque sia r \\in R.
<BR>
<BR>⁽²⁾: si verifica immediatamente che dev\'essere q > 1. Infatti, se per assurdo fosse q = 1, se ne avrebbe a dedurre che: n = 2^m-1, con m intero > 1, onde evincerne che: sigma₁(n) = sigma₁(2^m-1) = 2^m - 1. E questo è assurdo! Difatti, poiché n è un numero perfetto (per ipotesi): sigma₁(n) = 2n = 0 mod 2, là dove invece: 2^m - 1 = 1 mod 2.
<BR>
<BR>⁽³⁾: è banale verificare infatti che M_k è primo soltanto se k è a sua volta un numero primo naturale.
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<BR>
<BR>\"Sed hoc non concedo, ut quibus rebus gloriemini in vobis, easdem in aliis reprehendatis.\" - Cicerone<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 09-10-2004 22:52 ]

[Simo_the_wolf]

Ok. Ancora sui numeri perfetti:
<BR>1) Dimostrare che un numero perfetto non può essere un quadrato;
<BR>2) Trovare tutti i numeri perfetti della forma p^kq dove p e q sono primi e k è un intero positivo
<BR>
<BR>Questi dovrebbero essere più facilotti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

[Biagio]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-10-10 20:47, Simo_the_wolf wrote:
<BR>1) Dimostrare che un numero perfetto non può essere un quadrato;
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>ciao simo...farò quello facile<IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>scomponiamo n, da cui:
<BR>n=p₁^a₁ ... p_k^a_k
<BR>
<BR>allora possiamo scrivere che:
<BR>sigma(n)=(1+...+p₁^a₁)...(1+...p_k^a_k)
<BR>e perchè n sia perfetto, sigma(n) dovrà essere il doppio di n, pertanto poniamo:
<BR>sigma(n) = (1+...+p₁^a₁)...(1+...p_k^a_k) = 2n
<BR>ma se n è un quadrato, tutti gli esponenti a_i sono pari, pertanto tutti i fattori del prodotto (1+...+p₁^a₁)...(1+...p_k^a_k) sono dispari, e dunque sigma(n) non può essere pari, quindi NON uguale a 2n
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 10-10-2004 21:07 ]

[Biagio]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-10-10 20:47, Simo_the_wolf wrote:
<BR>
<BR>2) Trovare tutti i numeri perfetti della forma p^kq dove p e q sono primi e k è un intero positivo
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>vabbé va, anche questo, poi filo a fare la valigia per il mio trasferimento pisano...<IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>perchè p^k*q sia perfetto, si dovrà avere che:
<BR>sigma(p^kq ) = (1+...+p^k)(1+q)=2p^kq
<BR>da cui,
<BR>(p^k+1-1)(1+q)=2p^kq(p-1)
<BR>da cui,
<BR>p^k+1q-1+p^k+1-q=2p^k+1q- 2p^kq
<BR>p^k+1+2p^kq=p^k+1q+1+q
<BR>da cui si ricava che p non può essere maggiore di 2(basta eliminare a sinistra 1+q e la cosa si fa evidente).
<BR>nel caso in cui p=2 abbiamo:
<BR>2^k+1+2^k+1q=2^k+1q+1+q.
<BR>da cui:
<BR>q=2^k+1-1 per quei valori di k per cui effettivamente 2^k+1-1 è primo.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 10-10-2004 21:48 ]

[HiTLeuLeR]

@<!-- BBCode Start --><B><font color=green>Problema_1</font></B><!-- BBCode End -->: come spesso accade trattando di problemi di Teoria dei Numeri, anche la soluzione di Biagio trascura di considerare, per quanto banale, il caso singolare in cui n = 1, al quale - come già altrove è stato detto - non si applicano le argomentazioni conseguenti all\'impiego della forma \"standard\" del teorema fondamentale dell\'Aritmetica.
<BR>
<BR>@<!-- BBCode Start --><B><font color=green>Problema_2</font></B><!-- BBCode End -->: dacché la traccia non specifica diversamente, alle considerazioni svolte da Biagio è necessario premettere l\'ipotesi che p e q siano primi naturali <!-- BBCode Start --><I>distinti</I><!-- BBCode End --> fra loro, ché altrimenti non è lecito sfruttare la moltiplicatività delle funzioni dei divisori e ragionare di conseguenza. Ora, banalmente, se p = q: sigma(p^k · q) = sigma(p^k+1) = (p^k+2 - 1)/(p - 1), e pertanto n := p^k · q è un numero perfetto sse: (p^k+2 - 1)/(p - 1) = 2p^k+1, ovvero: p^k+2 - 1 = 2p^k+2 - 2p^k+1, e quindi: p^k+1 · (p - 2) + 1 = 0, il che non è mai possibile. Infatti, siccome p è un numero primo naturale: p >= 2, e quindi: p^k+1 · (p - 2) + 1 > 0. Dunque, se n := p^k · q è un numero perfetto, necessariamente p e q sono distinti.
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-10-10 21:46, Biagio wrote:
<BR>[...] da cui si ricava che p non può essere maggiore di 2 (basta eliminare a sinistra 1+q e la cosa si fa evidente). [...]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Orbene, quest\'affermazione è vera sotto il vincolo che sia q >= 3. Il caso q = 2 impone di fatto una discussione a sé stante, sebbene le <!-- BBCode Start --><B>conclusioni</B><!-- BBCode End --> ad essa conseguenti risultino in effetti contemplate, ma soltanto <!-- BBCode Start --><I>a posteriori</I><!-- BBCode End -->, nel quadro generale degli \"esiti\" relativi al caso p = 2 già discusso dal buon Biagio.
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-10-10 21:46, Biagio added:
<BR>[...] vabbé va, [...] filo a fare la valigia per il mio trasferimento pisano...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>\"Ibis redibis non morieris in bello.\" - oracoli... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 11-10-2004 16:56 ]