[N] corrispondente moltiplicativo

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Chiamiamo corrispondente moltiplicativo di un polinomio a coefficienti interi quello definito in questo modo: ogni monomio lo esprimamio come somma di monomi \"monici\" (3x=x+x+x 4x^2=x^2+x^2+x^2+x^2) e poi rimpiazziamo ciascun + con un * e ciascun - con un / tralasciando il termine noto (ad es. x^2+x+x-4 ==> x^2*x*x=x^4). Il coefficiente moltiplicativo del polinomio di partenza sarà l\'esponente di x dopo quest\'ultima operazione.
 
 Ad esempio il corrispondente moltiplicativo di (x-1)^2 è 0:
 x^2-2x+1 ==> x^2-x-x+1 ==> (x^2/x)/x=1=x^0
 
 Determinare il coefficiente moltiplicativo di :
 (x+1)n, (x-1)n, (x+a)n, (x-a)n,
 (xn-1)/(x-1), (xn+1)/(x+1), [(xn-1)/(x-1)]2
 P.S.: in pratica se il polinomio è della forma sumaixi il coefficiente moltiplicativo sarà uguale a sumi*ai

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Sia P(-) un qualunque polinomio a coefficienti interi nella singola variabile x. Assunto allora P(x) := sumk=0...n akxk, ove n \\in N ed ak \\in Z, per ogni k = 0, 1, ..., n, poniamo (senza ulteriori arzigogoli) hP(-) := sumk=0...n k · ak e diciamo che hP(-) rappresenta il corrispondente moltiplicativo di P(-).
 
 Fissato questo punto, osserviamo esplicitamente che, se P(-) è un polinomio di grado zero, ovvero se n = 0, banalmente: hP(-) = 0.
 
 i) Sia P(x) := (x + b)n, ove n \\in N e b è un arbitrario numero reale. Se n = 0, banalmente: hP(-) = 0. Per il seguito, assumiamo pertanto n > 0. In accordo al th. del binomiale: P(x) = sumk=0...n Bin(n, k) · bk · xn-k, ove Bin(n, k) denota - al solito - il coefficiente binomiale di ordine n su k, per ogni k = 0, 1, ..., n.
 
 E allora: hP(-) = sumk=0...n (n-k) · Bin(n, k) · bk = sumk=0...n-1 (n-k) · [n!/(k! · (n-k)!)] · bk = n · sumk=0...n-1 [(n-1)!/(k! · (n-1-k)!)] · bk = n · sumk=0...n-1 Bin(n-1, k) · bk = [Ancora per il teorema del binomiale] = n · (1+b)n-1.
 
 Se dunque b = 1, ovvero se P(x) := (x+1)n: hP(-) = n · 2n-1; se invece b = -1, e quindi P(x) := (x-1)n: hP(-) = 0; se infine b = ± a, essendo a un numero reale non negativo, ossia se P(x) := (x ± a)n: hP(-) = n · (1 ± a)n-1.
 
 Si osservi esplicitamente che le relazioni così ottenute contemplano in sé pure il caso singolare in cui n = 0, e quindi sono di validità generale per ogni n \\in N.
 
 ii) Sia P(x) := (xn - 1)/(x - 1), ove n \\in N0. E allora, dalla formula ch\'esprime la somma dei primi n-1 termini d\'una progressione geometrica: P(x) = sumk=0...n-1 xk, sicché: hP(-) = sumk=0...n-1 1 · k = [(n-1)·n]/2, in accordo alla nota relazione che restituisce la somma dei primi n interi non negativi, a partire da zero, in funzione di n.
 
 iii) Uffa, che noia!!!
 
 iv) Sia P(x) := [(xn - 1)/(x - 1)]2, ove n \\in N0. Dalla formula che fornisce la somma dei primi n-1 termini d\'una progress. geom.: P(x) = (sumk=0...n-1 xk)2 = sumk=0...2n-2 ckxk, ove ck := sumi+j=k ai aj, per ogni k = 0, 1, ..., 2n - 2, e la sommatoria a secondo membro s\'intende estesa a tutti e soli gli indici i, j = 0, 1, ..., n-1 tali che: i + j = k. Banalmente, se n = 1: hP(-) = 0. Sia dunque n > 1.
 
 E allora, poiché ai = 1, per ogni i = 0, 1, ..., n-1: ck = sumi+j=k 1 = k + 1, se k = 0, 1, ..., n-1; ck = sumi+j=k 1 = 2n - 1 - k, se k = n, n + 1, ..., 2n - 2; cosicché: P(x) = sumk=0...n-1 (k+1) · xk + sumk=n...2n-2 (2n - 1 - k) · xk, e quindi: hP(-) = sumk=0...n-1 k · (k+1) + sumk=n...2n-2 k · (2n - 1 - k) = [Conteggiando un po\'] = 2 · sumk=0...n-1 k2 - sumk=0...2n-2 k2 + (2n-1) · sumk=0...2n-2 k - (2n-2) · sumk=0...n-1 k = 2 · [n(n-1)(2n-1)]/6 - [(2n-2)(2n-1)(4n-3)]/6 + (2n-1) · [(n-1)(2n-1)] - (2n-2) · [n(n-1)]/2 = [Svolgendo i calcoli] = (n-1) · n2.
 
 Si osservi esplicitamente che la relazione ottenuta \"copre\" anche il caso singolare in cui n = 1, e di conseguenza risulta di validità generale per ogni n \\in N0.
 
 EDIT: non credete a chi vi dovesse parlar bene della navigazione in gprs... <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
 
 
 \"Lascia che sia fiorito,
 Signore, il suo sentiero
 Quando a te la sua anima
 E al mondo la sua pelle
 Dovrà riconsegnare,
 Quando verrà al tuo cielo,
 Là dove in pieno giorno
 Risplendono le stelle.\"
 
 - Fabrizio De Andrè, Preghiera in gennaio [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 10-10-2004 10:24 ]

Messaggio da **FrancescoVeneziano** » 01 gen 1970, 01:33

Mi permetto un intermezzo didattico.
 
 Dato un polinomio p(x)=SUM aixi
 possiamo definire il polinomio
 p\'(x)=SUM i*aixi-1
 come la derivata formale di p(x).
 Anche se l\'ho chiamata derivata, non è necessaria alcuna conoscenza di analisi per trattarla e le sue proprietà discendono direttamente dalla definizione.
 E\' evidentemente lineare (cioé la derivata di una somma è la somma delle derivate, e la derivata di k volte un polinomio è k volte la sua derivata) e soddisfa tutte le regole di calcolo che si adoperano per le derivate in analisi, che possono essere dimostrate semplicemente dalla definizione formale senza l\'intervento di concetti come il limite.
 
 Quello che ci interessa in questo momento è che (se p e q sono polinomi)
 (p*q)\'=p\'*q+p*q\'
 e dunque per induzione
 pn=n*pn-1*p\'
 
 Quello che hai definito \"coefficiente moltiplicativo\" non è altro che la derivata calcolata in 1, quindi se cerco il coefficiente molt. di (x+a)n devo solo derivarlo ottenendo n*(x+a)n-1 e sostituire 1 all\'indeterminata x, ottenendo subito il risultato n(a+1)n-1.
 
 Vi consiglio di tener presente questa tecnica, un po\' \"sofisticata\", per dimostrare identità algebriche. Ad esempio se avete il problema di calcolare
 SUM i2 Bin(n,i)
 
 potete ricorrere al binomio di Newton (x+1)n=SUM Bin(n,i) xi
 
 derivare i due polinomi ottenendo
 n(x+1)n-1=SUM i*Bin(n,i)*xi-1
 moltiplicare per x e derivare di nuovo ottenendo
 
 n((x+1)n-1+(n-1)(x+1)n-2)
 =SUM i2*Bin(n,i)*xi-1
 
 e infine porre x=1 ottenendo la soluzione n(2n-1+(n-1)2n-2).
 Naturalmente se sapete già la formula potete dimostrarla facilmente per induzione, il metodo che vi ho mostrato ha il pregio di ricavare il risultato.
 
 CaO
 Francesco
 
 EDIT: html [ Questo Messaggio è stato Modificato da: FrancescoVeneziano il 10-10-2004 11:27 ]