[A] Sommatoria thrilling

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Calcolare quanto vale
<BR>[2002*sum<sub>i=1,1000</sub>(i/2^i)]
<BR>dove [x] denota la parte intera di x cioè il più grande intero <= a x
<BR>
<BR>EDIT: Avevo sonno, Hitl...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 09-10-2004 13:47 ]
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>[...] dove [x] denota la parte intera di x cioè il più <!-- BBCode Start --><B>piccolo</B><!-- BBCode End --> intero <= x.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ehm... mi permetterò di supporre che Boll avesse inteso scriverci \"il più grande\"! Questo ragazzo mi procurerà un attacco di cuore, un giorno o l\'altro...
<BR>
<BR>Sia detto a un qualsivoglia numero reale positivo distinto da 1. E allora, l\'equazione: a<sup>x</sup> = 1 ammette una e una sola soluzione per x \\in R, e precisamente è risolta sse x = 0. Dunque, per ogni x \\neq 0 ed ogni n intero > 0: sum[k=0...n] a<sup>kx</sup> = (a<sup>(n+1)x</sup> - 1)/(a<sup>x</sup> - 1), pur di considerare che a primo membro figura la somma dei primi n+1 termini di una progressione geometrica di ragione a<sup>x</sup> \\neq 1.
<BR>
<BR>Ergo, derivando a destra e a sinistra rispetto ad x, supposto x variabile in R<sub>0</sub>, e semplificando alla meglio l\'espressione risultante, si deduce che, per ogni x \\in R<sub>0</sub> ed ogni n \\in N<sub>0</sub>:
<BR>
<BR><center>sum[k=1...n] k · a<sup>kx</sup> = [a<sup>x</sup>/(a<sup>x</sup> - 1)<sup>2</sup>] · [n · a<sup>(n+1)x</sup> - (n+1) · a<sup>nx</sup> + 1].</center>
<BR>
<BR>Di qui, ponendo x = 1 ed a = 1/2, si conclude che, per ogni n intero > 0: sum[k=1...n] k/2<sup>k</sup> = 2 · [n/2<sup>n+1</sup> - (n+1)/2<sup>n</sup> + 1] = 2 · [1 - (n+2)/2<sup>n+1</sup>]; cosicché, detta Floor(-) la funzione che ad ogni x \\in R fa corrispondere la sua parte intera bassa: Floor(2002 · sum[k=1...1000] k/2<sup>k</sup>) = Floor[4004 - (1002 · 4004)/2<sup>1001</sup>] = [Vedi nota <sup>(1)</sup>] = 4004 + Floor[- (1002 · 4004)/2<sup>1001</sup>].
<BR>
<BR>Ora: 0 < (1002 · 4004)/2<sup>1001</sup> < (2<sup>10</sup> · 2<sup>12</sup>)/2<sup>1001</sup> < 1, per cui: - 1 < - (1002 · 4004)/2<sup>1001</sup> < 0, e quindi: Floor[- (1002 · 4004)/2<sup>1001</sup>] = -1. Se ne conclude che: Floor(2002 · sum[k=1...1000] k/2<sup>k</sup>) = 4003.
<BR>
<BR><sup>(1)</sup>: si ricordi che, per ogni n \\in Z ed ogni x \\in R: Floor(n + x) = n + Floor(x).
<BR>
<BR>EDIT: html...
<BR>
<BR>
<BR>\"One must watch the convergence of a numerical code as carefully as a father watching his four year old play near a busy road.\" - J. P. Boyd <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 09-10-2004 11:48 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>[...] Per ogni n intero > 0: sum[k=1...n] k/2<sup>k</sup> = 2 · [1 - (n+2)/2<sup>n+1</sup>].
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Oh, naturalmente, la formula si può anche dimostrare per via induttiva, evitandosi pertanto il ricorso alle derivate:
<BR>
<BR>i) l\'identità è banale per n = 1, dacché: (sum[k=1...n] k/2<sup>k</sup>)<sub>n = 1</sub> = 1/2, e similmente: (2 · [1 - (n+2)/2<sup>n+1</sup>])<sub>n = 1</sub> = 2 · (1 - 3/4) = 1/2;
<BR>
<BR>ii) supponendone la consistenza per un generico n intero > 0, si trova quindi che: sum[k=1...n+1] k/2<sup>k</sup> = [Dissociando le somme] = sum[k=1...n] k/2<sup>k</sup> + (n+1)/2<sup>n+1</sup> = [Dall\'ipotesi di induzione] = 2 · [1 - (n+2)/2<sup>n+1</sup>] + (n+1)/2<sup>n+1</sup> = 2 - (2n+4)/2<sup>n+1</sup> + (n+1)/2<sup>n+1</sup> = 2 - (n+3)/2<sup>n+1</sup> = 2 · (1 - [(n+1) + 2]/2<sup>(n+1)+1</sup>).
<BR>
<BR>Di qui, per induzione, l\'asserto, q.e.d.
<BR>
<BR>
<BR>\"Ma no, ma no... fra di noi non c\'è nient\'altro che una magnifica amicizia. E poi, scusami... che c\'è di male se gli lavo le mutande? In fondo, lui si tuffa in acqua e mi porta tutti i giorni il pesce ancora vivo!!!\" - la tv <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 09-10-2004 10:21 ]

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Messaggio da DB85 » 01 gen 1970, 01:33

Davvero molto carina questa sommatoria. Peccato che l\'abbia vista solo stamattina, già provvista della puntuale e precisa soluzione di HiTLeuLeR, che mi ha negato di spendere qualche felice momento ragionandoci sopra, magari anche infruttousamente <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>EDIT: Aggiunta una cosettina...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 09-10-2004 13:48 ]
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Oh, scusami tanto! Davvero mi dispiace... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>
<BR>\"Vita vitanda repetita vita.\" - HiTLeuLeR in versione oracolare

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

La mia dimostrazione è identica a quella di Euler e giunge allo stesso risultato, tuttavia non utilizza Analisi (non la conosco <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">) ma solo una serie di passaggi algebrici che mi portava ad avere tante progressioni geometriche, ma la dimostrazione è lunga e non riesco ad allegarla in *.pdf<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 09-10-2004 14:32 ]
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

@Boll: tanto per mettere i puntini sulle \"i\" e sulle \"j\", t\'inviterei a considerare attentamente il fatto che la variante induttiva della soluzione proposta non utilizza in alcun modo gli strumenti dell\'Analisi, per cui...
<BR>
<BR>
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