Trovare tutte le soluzioni (reali e\\o complesse) dell\'equazione
<BR>
<BR>2x^3-x^2+y^2=2y^3-y^2+x^2=1
<BR>
<BR>
[A] Semplice sistemino
Moderatore: tutor
Non so se sia particolarmente sensato ciò che sto dicendo, ma provo lo stesso, insultatemi e correggetimi, vi prego, se sbaglio.
<BR>
<BR>Abbiamo il sistema
<BR>2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=1
<BR>2y<sup>3</sup>-y<sup>2</sup>+x<sup>2</sup>=1
<BR>
<BR>sommiamo membro a membro e otteniamo
<BR>x<sup>3</sup>+y<sup>3</sup>=1
<BR>quindi
<BR>x<sup>3</sup>+y<sup>3</sup>=2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>
<BR>da cui
<BR>x<sup>2</sup>(x-1)=y<sup>2</sup>(y-1)
<BR>
<BR>se x,y=/= 0, l\'unica soluzione è, per calcolo diretto x=y=1/crt(2)
<BR>se x,y=0 non ci sono soluzioni
<BR>se x=0, y=1
<BR>se y=0, x=1
<BR>
<BR>quindi le uniche coppie di soluzioni sono (1/crt(2), 1/crt(2)), (1,0), (0,1)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 07-10-2004 14:25 ]
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<BR>Abbiamo il sistema
<BR>2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=1
<BR>2y<sup>3</sup>-y<sup>2</sup>+x<sup>2</sup>=1
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<BR>sommiamo membro a membro e otteniamo
<BR>x<sup>3</sup>+y<sup>3</sup>=1
<BR>quindi
<BR>x<sup>3</sup>+y<sup>3</sup>=2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>
<BR>da cui
<BR>x<sup>2</sup>(x-1)=y<sup>2</sup>(y-1)
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<BR>se x,y=/= 0, l\'unica soluzione è, per calcolo diretto x=y=1/crt(2)
<BR>se x,y=0 non ci sono soluzioni
<BR>se x=0, y=1
<BR>se y=0, x=1
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<BR>quindi le uniche coppie di soluzioni sono (1/crt(2), 1/crt(2)), (1,0), (0,1)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 07-10-2004 14:25 ]
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
Hai azzeccato le coppie reali, ma ho fatto risolvere il sistema a Derive (sai lui è un filino più veloce di me <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> ) e ti posso dire che ci sono molte altre coppie complesse, e certe sono molto... strambe! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>E\' quasi impossibile da risovere manualmente.
<BR>
<BR>---
<BR>\"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
<BR>Che possiamo rendere sublimi le noste esistenze
<BR>E, morendo, lasciare dietro di noi
<BR>Le nostre impronte sulle sabbie del tempo\"
<BR><!-- BBCode Start --><I>Henry Wadsworth Longfellow</I><!-- BBCode End --> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 07-10-2004 15:09 ]
<BR>E\' quasi impossibile da risovere manualmente.
<BR>
<BR>---
<BR>\"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
<BR>Che possiamo rendere sublimi le noste esistenze
<BR>E, morendo, lasciare dietro di noi
<BR>Le nostre impronte sulle sabbie del tempo\"
<BR><!-- BBCode Start --><I>Henry Wadsworth Longfellow</I><!-- BBCode End --> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 07-10-2004 15:09 ]
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
Nonostante l\'insicurezza la soluzione è esatta
<BR>Per quanto riguarda i complessi, non potendo non ammettere la mia totale ignoranza nell\'uso di derive, mi sono rimboccato le maniche..
<BR>Allora...una volta arrivati a x^2+xy+y^2=x+y, definiamo a=x+y e b=xy
<BR>Quindi (ricordando che x^3+y^3=1) otteniamo il sistema
<BR>a^3-3ab=1
<BR>a^2-b=a
<BR>Sostituendo, a^3-3a(a^2-a)=1 => 2a^3-3a^2+1=0 => (2a+1)(a-1)^2=0
<BR>Se a=1, b=0 e si giunge alle soluzioni (x,y)=(1,0) o (0,1).
<BR>Se a=-1/2, b=3/4 e risolvendo il sistema
<BR>x+y=-1/2
<BR>xy=3/4
<BR>si arriva alle soluzioni (x,y)=((-1+sqr(11)i)/4,(-1-sqr(11)i)/4) e viceversa.
<BR>Ponendo x=y si dovrebbero ottenere altre soluzioni complesse ma la mia mente si rifiuta di continuare a calcolare.
<BR>
<BR>Per quanto riguarda i complessi, non potendo non ammettere la mia totale ignoranza nell\'uso di derive, mi sono rimboccato le maniche..
<BR>Allora...una volta arrivati a x^2+xy+y^2=x+y, definiamo a=x+y e b=xy
<BR>Quindi (ricordando che x^3+y^3=1) otteniamo il sistema
<BR>a^3-3ab=1
<BR>a^2-b=a
<BR>Sostituendo, a^3-3a(a^2-a)=1 => 2a^3-3a^2+1=0 => (2a+1)(a-1)^2=0
<BR>Se a=1, b=0 e si giunge alle soluzioni (x,y)=(1,0) o (0,1).
<BR>Se a=-1/2, b=3/4 e risolvendo il sistema
<BR>x+y=-1/2
<BR>xy=3/4
<BR>si arriva alle soluzioni (x,y)=((-1+sqr(11)i)/4,(-1-sqr(11)i)/4) e viceversa.
<BR>Ponendo x=y si dovrebbero ottenere altre soluzioni complesse ma la mia mente si rifiuta di continuare a calcolare.
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