[N] Sui primi nelle progressioni aritmetiche.

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Problema: senza ricorrere al teorema di Dirichlet, si dimostri per via elementare che, se p è un numero primo naturale ed n un qualsivoglia intero non negativo, allora la progressione aritmetica {uk: k \\in N} di termine generale uk := k · pn + 1 contiene essa stessa infiniti primi naturali.
 
 
 \"If I could prove by logic that you would die in five minutes, I should be sorry you were going to die, but my sorrow would be very much mitigated by pleasure in the proof.\" - Harold Godfrey Hardy to Bertrand Russell

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Maaaaaaaaaaaaaamma...
 
 Problema: senza usare il teorema di Dirichlet, mostrare per via elementare che, là dove n sia un intero positivo di valenza dispari o della forma n = 2m, con m \\in N, la progressione aritmetica {uk: k \\in N} di termine generale uk := nk + 1 contiene infiniti primi naturali.
 
 
 \"Sinceramente, inizio a preoccuparmi...\" - HiTLeuLeR [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 02-10-2004 12:04 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Ok, finalmente ci sono! Finalmente pare ch\'io abbia vinto quest\'insulsa mia empatica sfidina!! Finalmente l\'ho dimostrato!!! Certo, non escluderei la possibilità che si tratti soltanto di un terribile abbaglio, ché del resto, visto il soggetto (sarei io...), non è che in fondo ci sarebbe poi troppo di cui stupirsi. Ma tant\'è...
 
 E così, a rischio di sembrarvi unicamente un presuntuoso, un esaltato, un mitomane, un bufalaro e chi più ne ha più ne metta, vi chiedo, dal basso di tutta l\'umiltà di cui sono capace (lo so, non è granché, ma è superfluo che vi affanniate adesso a ricordarmelo...), d\'aiutarmi a capire, e nulla più, se il risultato che vi propongo qui di seguito in forma di problema sia degno di riguardo o al contrario idiotesco nell\'insolente sua banalità. In entrambi i casi, grazie per tutta l\'attenzione che vorrete riservargli.
 
 -- salvo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 PROBLEMA: senza usare il teorema di Dirichlet, mostrare per via elementare che, là dove n sia un intero positivo, la progressione aritmetica {uk: k \\in N} di termine generale uk := nk + 1 contiene infiniti primi naturali.
 
 
 \"In great mathematics there is a very high degree of unexpectedness, com-
 bined with inevitability and economy.\" - Godfrey Harold Hardy

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Soltanto grazie al divino kayo, ho scoperto che Euler (quello vero...), qualche annetto prima che Gauss formulasse il problema nei termini generali in cui venne poi affrontato e risolto da Dirichlet, \"[...] stated that every arithmetic progression beginning with 1 contains an infinite number of primes [...]\". L\'informazione è desunta dal sito di Wikipedia, e si può risalire al contenuto integrale dell\'articolo (in verità, nulla di particolarmente esaltante) semplicemente cliccando <a href=\"http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_theorem\">qui</a>. Ora, anche tenuto conto del resto, posso sapere come interpretereste voi altri il senso del verbo to state in relazione al testo sopra riportato? GraSSie...
 
 
 \"Le domande sono molte, le risposte troppo poche.\" - saggezza antica

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 [...] come interpretereste voi altri il senso del verbo to state in relazione al testo sopra riportato?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Ciao, Hit.
 
 Bah, io direi qualcosa che potrebbe essere \"formulare\" oppure \"enunciare\" (da confrontare con \"statement\" = \"enunciato\", ad esempio).
 
 [ OT ] Riprendendo un tuo intervento su un altro filo: \"draco dormiens, bla, bla\" non è mia, come mi hai attribuito, ma è di J.K.Rowling e si tratta, come molti dei miei ventitrè lettori sapranno, del motto della Hogwarts School of Witchcraft and Wizardry. [ /OT ]
 
 Ciao.
 
 M.[addsig]

DB85 · Messaggio da **DB85** » 01 gen 1970, 01:33

[OT]
 
 Perdonami marco se ti correggo, ma - se non ho frainteso il tuo umorismo - i famosi lettori erano venticinque.
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 1840, Alessandro Manzoni wrote:
 [...] Pensino ora i miei venticinque lettori che impressione dovesse fare sull\'animo del poveretto, quello che s\'è raccontato. Lo spavento di que\' visacci e di quelle parolacce, la minaccia d\'un signore noto per non minacciare invano, un sistema di quieto vivere, ch\'era costato tant\'anni di studio e di pazienza, sconcertato in un punto, e un passo dal quale non si poteva veder come uscirne: tutti questi pensieri ronzavano tumultuariamente nel capo basso di don Abbondio. [...]  Promessi Sposi, Capitolo I
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 E\' tuttavia possibile che due di essi siano morti visto che son trascorsi ben 164 anni dalla definitiva stesura dei Promessi Sposi. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 [/OT]
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 07-10-2004 09:40 ]

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao. [OT]
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-07 09:37, DB85 wrote:
 Perdonami marco se ti correggo, ma - se non ho frainteso il tuo umorismo - i famosi lettori erano venticinque.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Caro Ottantacinque, hai sbagliato citazione. Si trattava di un piccolo omaggio ad un mio conterraneo.
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Giovannino Guareschi, in \"Diario Clandestino\", wrote:
 
 Comunque il libro è qui. Se lo vedano i miei ventitré lettori. Se non va bene, vuol dire che la prossima prigionia farò meglio.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Credo tra l\'altro che non sia l\'unica volta in cui abbia scritto riferimenti ai \"suoi ventitré lettori\". Addirittura esiste un club dei lettori amanti di Guareschi che si chiama, per l\'appunto Club dei Ventitré. Manzoni se ne attribuiva venticinque. Guareschi, che Manzoni non era, si accontentava di ventitré... (Ok. E\' un po\' gonfio che anche Marco, che Guareschi non è, se ne attribuisca 23...)
 
 Ciao. M.[addsig]

DB85 · Messaggio da **DB85** » 01 gen 1970, 01:33

Perdonami, ma non conoscevo questa abitudine manzoniana del tuo scrittore conterraneo e mi ero dunque diretto verso la cosa più ovvia. Scusami ancora... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-02 12:01, HiTLeuLeR wrote:
 Maaaaaaaaaaaaaamma...
 
 Problema: senza usare il teorema di Dirichlet, mostrare per via elementare che, là dove n sia un intero positivo di valenza dispari o della forma n = 2m, con m \\in N, la progressione aritmetica {uk: k \\in N} di termine generale uk := nk + 1 contiene infiniti primi naturali.
 
 
 \"Sinceramente, inizio a preoccuparmi...\" - HiTLeuLeR
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 02-10-2004 12:04 ]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 vabbé va...spero che Lord non me ne voglia male...il problema l\'abbiamo fatto insieme e ci eravamo accordati che l\'avremmo postato oggi insieme, ma poi ce ne siamo scordati. comunque...
 
 supponiamo per assurdo che esista un n per cui la progressione aritmetica c2n+1 contenga un numero finito di primi.
 
 sia m il numero di tali primi e supponiamo di ordinarli (p1...pm)
 
 vediamo ora quali sono i primi che dividono:
 PROD(pi 2n-1) +1
 
 se q|PROD(pi 2n-1) +1
 ==> PROD(pi 2n-1)==-1 mod(q)
 
 ora, siccome q è un primo, esisterà necessariamente un generatore g di q tale per cui esiterà un esponente k tale che:
 gk==PROD(pi) mod(q)
 
 pertanto si dovrà avere che:
 gk(2n-1 ) ==-1 mod(q)
 
 perciò k(2n-1) dovrà essere un multiplo dispari di (phi(q))/2
 dunque esisterà un r naturale tale che:
 k(2n-1)=(2r+1)(phi(q))/2
 
 ma, poiché phi(q)=q-1 si ottiene q=2n k/(2r+1) +1 che è della forma c2n + 1 e chiaramente differente p1...pm. dunque, assurdo!
 
 NB: si noti che, poiché (2r+1) è dispari, lascia invariata la potenza di 2. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 08-10-2004 00:10 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-07 08:23, marco wrote:
 Bah, io direi qualcosa che potrebbe essere \"formulare\" oppure \"enunciare\" (da confrontare con \"statement\" = \"enunciato\", ad esempio).
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Oh, bene! E\' proprio quel che desideravo sentirmi dire. Posso quindi ancora sperare che si tratti di un risultato \"originale\"? Beh, in effetti è proprio quel che vorremmo scoprire! Come dire, ci stiamo informando, e non si tratta soltanto d\'un pluralis maiestatis, nu... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 Grazie per la tua consulenza, marco. Sei una risorsa preziosa!!! Adesso però, se ti resta del tempo, prova anche tu a dedicarti al problema. Come ho già lasciato intendere più volte, mi servirebbe capire se si tratta d\'una cazzatuola oppure se al contrario...
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-07 08:23, marco continued:
 [...] Riprendendo un tuo intervento su un altro filo: \"draco dormiens, bla, bla\" non è mia, come mi hai attribuito, ma è di J.K.Rowling e si tratta, come molti dei miei ventitrè lettori sapranno, del motto della Hogwarts School of Witchcraft and Wizardry.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Eh, questi dannati accenti... Comunque, tanto per la cronaca, ignoravo effettivamente l\'origine della citazione latina! Nunc non unquam, tua gratia...
 
 @Biagio: mo\' provo a leggere attentamente la dimostrazione che tu e lord avete messo a punto. Siccome sono stanco e l\'ora è tarda e la giornata è stata mooolto lunga, beh... è probabile che riceverete il mio responso soltanto nella serata di domani! Pensate di poter sopravvivere fino ad allora? Ok, bene...
 
 \"A che servono gli accenti? Ahahah... suvvia, è un po\' come chiedersi a che cosa servono le donne!\" - HiTLeuLeR [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 08-10-2004 02:06 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Sia benedetta la nutella... Biagio?! Le argomentazioni tue e di lollogauss non fanno una grinza. Peccato soltanto che sembrino così strettamente dipendenti dalla particolarissima forma(1) della progressione cui sono riferite da risultare difficilmente adattabili, almeno in apparenza, al caso più generale. Staremo comunque a vedere cos\'altro v\'inventerete! Saluti...
 
 (1): siccome la pignoleria non è mai sufficiente, sottolineo che la sequenza presa in esame nella dimostrazione proposta dalla coppia Biagio-Lord è del tipo uk := k · 2n + 1, con k variabile in N ed n fissato fra gli interi positivi.
 
 
 \"Celsae graviore casu decidunt turres.\" - Orazio [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 08-10-2004 02:07 ]

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-08 00:08, Biagio wrote:
 supponiamo per assurdo che esista un n per cui la progressione aritmetica c2n+1 contenga un numero finito di primi.
 sia m il numero di tali primi e supponiamo di ordinarli (p1...pm)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Come garantite che vi sia almeno un primo?

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-08 11:33, MindFlyer wrote:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-08 00:08, Biagio wrote:
 supponiamo per assurdo che esista un n per cui la progressione aritmetica c2n+1 contenga un numero finito di primi.
 sia m il numero di tali primi e supponiamo di ordinarli (p1...pm)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Come garantite che vi sia almeno un primo?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 beh, se per assurdo non ci fossero primi, anziché prendere la successione (p_1...p_m), prendo un po\' di primi a caso e mostro che PROD(p_i ^2^(n-1)) +1 dev\'essere comunque divisibile per un primo della forma c2^n + 1
 in sostanza l\'importante è che nella produttoria ci siano tutti i primi della successione, poi poso mettercene anche altri.
 ps:ho risposto un po\' senza riflettere...forse ho toppato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 08-10-2004 11:47 ]

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-08 11:46, Biagio wrote:
 ps:ho risposto un po\' senza riflettere...forse ho toppato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 No, a occhio worka.

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-08 00:08, Biagio wrote:
 ora, siccome q è un primo, esisterà necessariamente un generatore g di q tale per cui bla bla
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>Beh, insomma... Siamo d\'accordo che è vero, ma il fatto che (Z/pZ)* sia ciclico, non è poi così elementare...