[AC] successioni ricorrenti (nei miei incubi)

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

beh, insomma.. concedetemi il soggetto...
 
 sia r un numero reale...
 qual è il minimo j(n) tale che esiste sicuramente i intero positivo minore di j(n) tale che ir sia vicino ad un intero a meno di 1/n?
 
 [EDIT: maledetto html!] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 27-09-2004 15:49 ]

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao, M.G.
 
 Questo credo ti possa tornare utile:
 
 http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html
 
 [non ci ho pensato bene, magari non ti serve a niente...]
 
 Per la cronaca: il Viola che viene citato è il prof. Viola del dipartimento di mate di Pisa.
 
 Fammi sapere...
 
 Ciao.
 
 M.
 [addsig]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

[mode_canzoncina: ON :\"tanti auguri a tasin per il mio messaggio!\"]
 
 comunque... sarei falso se dicessi che l\'ho fatto... diciamo che me l\'han fatto fare <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 e diciamo pure che non so se tutta quella roba serva! comunque non dovresti aver grosse difficoltà, tu, mister oro <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 [mode_canzoncina: OFF :\"tanti auguri a tasin per il mio messaggio!\"]
 
 [EDIT: ORRORE di grammatica <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 28-09-2004 09:14 ]

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Non capisco il testo. Cos\'è j(n)?
 Se è un reale, allora evidentemente non esiste il minimo.
 D\'altra parte, se fosse un intero che bisogno ci sarebbe di un testo così contorto? Non basta chiedere il minimo intero i tale che ir è vicino ad un intero a meno di 1/n?

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

j(n) è un intero... però non è la stessa cosa, quello che dici tu...
 beh, non so.
 pensaci O_o

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Non è la stessa cosa nel senso che il minimo j(n) è il minimo i + 1?
 Bella storia... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

prendiamo {r}, {2r}, {3r}, ... {(n+1)r} dove {x}=x-[x] è la parte decimale di x.
 Tutti questi numeri sono compresi tra 0 e 1 (esclusi per l\'irrazionalità di r) e, dividendo l\'intervallo (0,1) in n parti lunghe 1/n abbiamo che per il pigeonhole che in almeno un intervallino ci sono almeno due di questi numeri. Chiamando questi due numeri {ar} e {br} (supponiamo senza perdita di generalità che a>b) abbiamo che |{ar}-{br}|<1/n cioè |(a-b)r-([ar]-[br])|<1/n. [ar]-[br] è un intero che chiamiamo z e a-b è un numero positivo che chiamiamo i ed è sicuramente minore di n+1.
 Ora abbiamo |ir-z|<1/n cioè i è un numero che soddisfa le ipotesi e quindi possiamo dire che j(n)<=n+1

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

hm, no.

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

anzi, dopo un rapido consulto e qualche suggerimento <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> possiamo dire non solo che j(n)<=n+1 ma anke che j(n)<=n. infatti possiamo prendere i numeri {r},{2r},{3r}...{(n-1)r} e metterli nei \"cassetti\". ci potranno capitare 2 situazioni:
 
 1) in qualche spazio ci sono due di questi numeri e allora, per il ragionamento di prima i<=n-2 e quindi j(n)<=n-1
 
 2) tutti i numeri vanno in cassetti distinti; ma in questo caso in almeno uno dei cassetti tra (0,1/n) e (n-1/n,1) ci sarà uno di queti numeri che soddisferà la relazione richiesta. in questo modo i<=n-1 e quindi j(n)<=n.
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 27-09-2004 22:08 ]

DB85 · Messaggio da **DB85** » 01 gen 1970, 01:33

Magari sbaglio, il problema di ma_go non è praticamente equivalente a questo (famoso) quesito:
 
 fissato un numero positivo a, dimostrare che tra i numeri
 a, 2a, 3a, ..., (n-1)a
 ve ne è uno che differisce al più 1/n da un numero intero.
 
 Certo qui si parla di un numero positivo, ma il risultato dovrebbe confermarsi
 e dunque effettivamente i = n-1 e j(n)=n.
 
 P.S.: Complimenti a tutti i nuovi normalisti. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 27-09-2004 22:43 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-09-27 16:57, ma_go wrote:
 [...] sarei falso se direi che l\'ho fatto... [...]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
 
 
 \" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> \" - HiTLeuLeR

DB85 · Messaggio da **DB85** » 01 gen 1970, 01:33

Che grande invenzione il condizionale! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

[off-topic]
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-09-27 16:57, ma_go wrote:
 sarei falso se direi
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Se non sarebbi sicuro di averlo proprio letto, direbbi che c\'è qualcosa che non torna... <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif">
 
 Ciao. M.
 
 P.S.: e chi è Mister Oro? Un incrocio tra Capitan America e il Mago Galbusera?[addsig]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

mamma mia, che vergogna...
 vedrò di auto-flagellarmi usando qualche libro di grammatica delle medie, accuratamente spinato...
 sono sconvolto <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
 
 comunque, tornando al serio-ma-non-deprimente, i due problemi sono evidentemente equivalenti, DB85.
 e mi pare che la soluzione sia ok.
 comunque, siccome deve valere per tutti gli r reali (siano essi positivi o negativi), allora j(n) = n.