[N] Non si parla di generatori elettrici...

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Start --><B>Lemma</B><!-- BBCode End -->: per ogni primo naturale p > 2: sum<sub>a=1...p-1</sub> a<sup>p</sup> = 0 mod p<sup>2</sup>.
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<BR>Dim.: poiché si ammette che p sia un primo naturale di valenza dispari, esiste un intero g nell\'intervallo aperto ]1, p[ tale che g sia una radice primitiva mod p. E allora, per ogni a = 1, 2, ..., p - 1, risulta <!-- BBCode Start --><I>univocamente</I><!-- BBCode End --> determinato un k fra gli interi 0, 1, ..., p - 2 per cui: a = g<sup>k</sup> mod p, ovvero: a = g<sup>k</sup> + b<sub>k</sub>p, essendo b<sub>k</sub> esso pure un intero. E allora: a<sup>p</sup> = (g<sup>k</sup> + b<sub>k</sub>p)<sup>p</sup> = [Per il teorema binomiale] = sum<sub>r=0...p</sub> Bin(p, r) · g<sup>k·(p - r)</sup> · (b<sub>k</sub>p)<sup>r</sup> = g<sup>p·k</sup> mod p<sup>2</sup>, pur di considerare che, per ogni r = 1, 2, ..., p: Bin(p, r) · p<sup>r</sup> = 0 mod p<sup>2</sup>.
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<BR>Ne fa seguito che: sum<sub>a=1...p-1</sub> a<sup>p</sup> = sum<sub>k=0...p-2</sub> g<sup>p·k</sup> = [g<sup>p·(p-1)</sup> - 1]/(g<sup>p</sup> - 1) = [g<sup>phi(p^2)</sup> - 1]/(g<sup>p</sup> - 1) mod p<sup>2</sup>, ove phi(-) denota - al solito - la totiente di Eulero. Ora, per il teorema di Euler-Fermat: p<sup>2</sup> | g<sup>phi(p^2)</sup> - 1, e tuttavia, essendo g > 1, g<sup>p</sup> - 1 non è divisibile per p, ergo: gcd(p, g<sup>p</sup> - 1) = 1. Coerentemente con il primo th. di Euclide dell\'Aritmetica, ne discende che: p<sup>2</sup> | [g<sup>phi(p^2)</sup> - 1]/(g<sup>p</sup> - 1), e dunque: sum<sub>a=1...p-1</sub> a<sup>p</sup> = [g<sup>phi(p^2)</sup> - 1]/(g<sup>p</sup> - 1) = 0 mod p<sup>2</sup>, q.e.d.
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<BR>No, non sono impazzito del tutto! Dunque, iniziamo dal principio... ieri notte, scorrendo alcuni topic ormai depositati nel dimenticatoio, mi sono imbattuto in un simpatico problemotto di Teoria dei Numeri ancora irrisolto, e mi sono detto che forse sarebbe stato il caso di dedicargli un po\' di tempo... e così in effetti è stato! Senonché adesso non mi riesce più di risalire alla pagina in cui veniva originariamente formulata la questione. Ecco perché ripropongo qui di seguito il problema assieme alla soluzione cui avrei pensato. L\'autore non me ne voglia a male e si faccia eventualmente avanti per rivendicare la paternità dell\'idea!
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<BR><!-- BBCode Start --><B>Problema</B><!-- BBCode End -->: dimostrare che, per ogni primo naturale p > 2: sum<sub>a=1...p-1</sub> a<sup>2p-1</sup> = [p(p+1)]/2 mod p<sup>2</sup>.
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<BR>Soluz.: in accordo al teorema di Euler-Fermat, per ogni a = 1, 2, ..., p - 1: a<sup>p-1</sup> = 1 mod p, perciocché esiste h<sub>a</sub> in Z tale che: (H.1) a<sup>p-1</sup> = 1 + h<sub>a</sub>p, ovvero: (H.2) a<sup>p</sup> = a · (1 + h<sub>a</sub>p). E allora, moltiplicando membro a membro le due relazioni ultime così ottenute, fa seguito che, comunque scelto un a = 1, 2, ..., p - 1: a<sup>2p-1</sup> = a<sup>p</sup> · a<sup>p-1</sup> = a · (1 + h<sub>a</sub>p)<sup>2</sup> = a · (1 + 2h<sub>a</sub>p) mod p<sup>2</sup>.
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<BR>Di qui, per sommazione: (H.3) sum<sub>a=1...p-1</sub> a<sup>2p-1</sup> = sum<sub>a=1...p-1</sub> a · (1 + 2h<sub>a</sub>p) = [Dissociando] = (sum<sub>a=1...p-1</sub> a) + 2p · (sum<sub>a=1...p-1</sub> a · h<sub>a</sub>) = [p·(p - 1)]/2 + 2p · sum<sub>a=1...p-1</sub> a · h<sub>a</sub> mod p<sup>2</sup>.
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<BR>Del resto, in base al lemma precedentemente dimostrato: 0 = sum<sub>a=1...p-1</sub> a<sup>p</sup> = [Dalla (H.2)] = sum<sub>a=1...p-1</sub> a · (1 + h<sub>a</sub>p) = [Dissociando] = [p·(p-1)]/2 + p · sum<sub>a=1...p-1</sub> a · h<sub>a</sub> mod p<sup>2</sup>, e quindi: 0 = p·(p-1) + 2p · sum<sub>a=1...p-1</sub> a · h<sub>a</sub> mod p<sup>2</sup>, o equivalentemente: 2p · sum<sub>a=1...p-1</sub> a · h<sub>a</sub> mod p<sup>2</sup> = p mod p<sup>2</sup>.
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<BR>Se ne deduce finalmente che: sum<sub>a=1...p-1</sub> a<sup>2p-1</sup> = [Dalla (H.3)] = [p·(p - 1)]/2 + 2p · sum<sub>a=1...p-1</sub> a · h<sub>a</sub> = [p·(p - 1)]/2 + p = [p·(p + 1)]/2 mod p<sup>2</sup>, q.e.d.
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<BR>\"Exigua est virtus praestare silentia rebus; at contra gravis est culpa tacenda loqui.\" - Ovidio<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 20-09-2004 11:38 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Bene, direi che un esercizietto sui generatori, a questo punto, non ci starebbe affatto male! Perciò...
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<BR><!-- BBCode Start --><B>Problema</B><!-- BBCode End -->: sia n un intero positivo. Dimostrare ch\'esistono infiniti primi naturali p per cui: min({g -> N<sub>0</sub> t.c. g è una radice primitiva mod p}) > n, ove \"->\" denota il simbolo di appartenenza insiemistica.
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<BR>\"Quelli che gridano al deserto preparano il sentiero per gli dèi.\" - Oscar Wilde

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Ecco, dopo ore ed ore [...] di estenuante ricerca, sono riuscito finalmente a rintracciare il post in cui veniva proposto quel benedetto problemino! Grazie a quel solipsista meteoritico di Talpo [gh] per la sua collaborazione, quantunque - in ultima analisi - del tutto inessenziale. <!-- BBCode Start --><I>So</I><!-- BBCode End -->, <a href=\"http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... =0\"><font color=blue><!-- BBCode Start --><I>here is the link</I><!-- BBCode End --></font></a>!
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<BR>\"Ogni arte è immorale!\" - Oscar Wilde<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 14-11-2004 20:13 ]

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