La somma infinita delle derivate

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Jack_Daniel
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Messaggio da Jack_Daniel » 01 gen 1970, 01:33

Data una funzione f(x) derivabile infinite volte in un dominio reale si consideri B(f) dove B è un operatore che alla funzione somma tutte le sue derivate n-esime con n-->Inf. ovvero B(f)=f+f\'+f\'\'+f\'\'\'+... fino alla derivata infinitesima.
<BR>
<BR>1) Dimostrare che B\'(f)=B(f)-f e cioé che B(f) è soluzione della equazione differenziale u\'=u-f.
<BR>
<BR>2) Quali sono le condizioni su f per cui determinati parametri della soluzione generale di u\'=u-f danno u(x)=B(f) o comunque per le quali è possibile dare una espressione analitica finita per B(f).
<BR>
<BR>3) Determinare l\'espressione analitica per B(f).<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Jack_Daniel il 18-09-2004 01:38 ]
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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Siano X un aperto non vuoto della topologia ordinaria di R ed f(-) una funzione di classe C<sup>inf</sup>(X), ossia tale ch\'esista la derivata k-esima f<sup>(k)</sup>(-) di f(-) in X, per ogni k = 0, 1, 2, ... Fissata f(-), ammettiamo dunque sia possibile determinare un sottoinsieme Y non vuoto di X tale che, per ogni x in Y, la serie sum[k=0...+inf] f<sup>(k)</sup>(x) sia convergente. Ha senso in tal caso definire, e non solo formalmente, la funzione B[f](-): Y ---> R: x ---> sum[k=0...+inf] f<sup>(k)</sup>(x).
<BR>
<BR>Orbene, sotto ipotesi sufficienti a garantire i) l\'esistenza di un sottoinsieme U di Y non vuoto in cui B[f](-) risulti differenziabile e ii) l\'inversione nell\'ordine degli \"operatori\" di somma e derivata, si può concludere che, per ogni x in U: d/dx B[f](x) = sum[k=0...+inf] d/dx f<sup>(k)</sup>(x) = sum[k=0...+inf] f<sup>(k+1)</sup>(x) = sum[k=0...+inf] f<sup>(k)</sup>(x) - f(x) = B[f](x) - f(x). Ne viene che B[f](-) è soluzione dell\'equazione differenziale lineare ordinaria del primo ordine a coefficienti costanti: u\' = u - f, la cui soluzione generale è della forma: u(x) = -e<sup>x</sup> · int e<sup>-x</sup> f(x) dx. Onde dedurne che B[f](-) è esprimibile analiticamente in forma finita - cito alla lettera - sse, stanti le ipotesi già primieramente assunte, f(-) è tale da garantire che risulti <!-- BBCode Start --><I>calcolabile elementarmente</I><!-- BBCode End --> (si veda la nota in basso) l\'integrale int <!-- BBCode Start --><I>e</I><!-- BBCode End --><sup>-x</sup> f(x) dx. Quest\'è il caso, i.e., dei polinomi! Spero che possa bastare...
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><I>Nota</I><!-- BBCode End -->: essendo X un aperto non vuoto di R, si dice che una funzione f(-): X ---> R è <!-- BBCode Start --><I>integrabile elementarmente</I><!-- BBCode End --> in X sse l\'integrale indefinito di f(-) in X è una <!-- BBCode Start --><I>funzione elementare dell\'Analisi</I><!-- BBCode End -->. Per una classificazione ed \"elencazione\" completa delle funzioni elementari dell\'Analisi, vi rimando all\'indirizzo: \"http://mathworld.wolfram.com/ElementaryFunction.html\".
<BR>
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<BR>\"Il simbolismo dei sogni con stimolo urinario è particolarmente trasparente [...]. Già Ippocrate espresse l\'opinione che i sogni di fontane e sorgenti sono indizio di un disturbo alla vescica. Scherner [...] ha affermato che «qualsiasi stimolo urinario abbastanza forte si trasforma inevitabilmente in eccitazione delle zone sessuali [...].»\" - Sigmund Freud, da <!-- BBCode Start --><I>L\'interpretazione dei sogni</I><!-- BBCode End --> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 18-09-2004 15:42 ]

Jack_Daniel
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Messaggio da Jack_Daniel » 01 gen 1970, 01:33

Ottimo ... ma a mio perere non basta
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<BR>In realtà è possibile eliminare l\'ipotesi di convergenza della serie B(f) ma a questo punto ci troviamo davanti a contraddizioni. Se, ad esempio, f=e^x e si vuole calcolare B(e^x) in x0 si ha
<BR>
<BR>B[e^x](x0)=e^x0+e^x0+....=(n-->inf) · e^x0=inf
<BR>
<BR>u(x0)=-e^x0 · int [e^(-t) · e^t dt](x0)=-(x0 · e^x0) che è un valore finito
<BR>
<BR>Escludendo la condizione di convergenza non è possibile considerare solo la primitiva di u\'=u-x per dare una espressione analitica sempre esatta di B(f).
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<BR><!-- BBCode Start --><I>AIUTO: Consiglio di imporre opportuni estremi di integrazione invece di considerare solo la primitiva</I><!-- BBCode End -->
<BR>
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-18 01:32, Jack_Daniel wrote:
<BR>In realtà è possibile eliminare l\'ipotesi di convergenza della serie B(f) ma a questo punto ci troviamo davanti a contraddizioni.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-18 15:27, HiTLeuLeR wrote:
<BR>Fissata f(-), ammettiamo dunque sia possibile determinare un sottoinsieme Y non vuoto di X tale che, per ogni x in Y, la serie sum[k=0...+inf] f<sup>(k)</sup>(x) sia convergente. [...] Sotto ipotesi sufficienti a garantire i) l\'esistenza di un sottoinsieme U di Y non vuoto in cui B[f](-) risulti differenziabile e ii) l\'inversione nell\'ordine degli \"operatori\" di somma e derivata, [...] B[f](-) è [allora] esprimibile analiticamente in forma finita [...] sse, <!-- BBCode Start --><B>stanti le ipotesi</B><!-- BBCode End --> [...] <!-- BBCode Start --><B>primieramente assunte</B><!-- BBCode End -->, f(-) è tale da garantire che risulti calcolabile elementarmente [...] l\'integrale int e<sup>-x</sup> f(x) dx.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Se ho frainteso, me ne scuso, ma tenevo a sottolineare che la conclusione del messaggio precedente s\'intende vincolata, come esplicitamente si può leggere, alla consistenza delle ipotesi i) e ii), posto per principio di aver assunto - naturalmente - la locale convergenza della serie delle derivate. Rimosse le ipotesi, tutto può succedere... Ora, mi pare d\'intuire che tu abbia giust\'appunto stabilito delle condizioni che consentirebbero di <!-- BBCode Start --><I>raffinare</I><!-- BBCode End --> alcune delle mie ipotesi e generalizzare così la soluzione ch\'io ho proposto, è corretto? Bene... Ti dirò, in tutta franchezza, che trovo l\'idea scarsamente plausibile! Ora, di tutte le ipotesi sopra indicate, sinceramente non mi sarei <!-- BBCode Start --><B>mai</B><!-- BBCode End --> sognato di poter rinunciare alla convergenza locale della serie!!! Anzi, trovo tragicamente assurdo finanche immaginare un qualcosa del genere... Ché altrimenti cosa resterebbe in piedi del problema originario, uh? Nulla, a parte una cataratta di nonsensi! In quanto alle altre ipotesi, beh... il discorso è essenziamente analogo! Al punto 1), la traccia chiede infatti di verificare che B[f](-) risolve una certa equazione differenziale, per cui è pacifico doverne ammettere la differenziabilità in un qualche insieme. E che rimane? Ben poco, se mi ammetti - com\'io confido - che l\'inversione fra gli \"operatori\" di somma e derivata rappresenta effettivamente la chiave di volta nella dimostrazione del fatto che B[f](-) soddisfa la differenziale di cui già si è detto. Ecco, alla luce di queste considerazioni, ritengo proprio che, almeno allo stato attuale, null\'altro mi resti oggettivamente da soggiungere! Ciao...
<BR>
<BR>EDIT.1: com\'è che la pagina si è contratta orizzontalmente?!
<BR>
<BR>EDIT.2: sì, forse ho capito... Jack_Daniel, che ne diresti di levarci un paio di \"R\" e qualche vocale di troppo da quel tuo \"RRROOOOOOOMAAAAAAA\", uh? In fondo, il senso resterebbe chiaro comunque...
<BR>
<BR>
<BR>\"Le domande non sono mai indiscrete: a volte lo sono le risposte.\" - Oscar Wilde<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 18-09-2004 21:29 ]

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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Uhm...In quanto alla differenziabilità e allo scambio di limiti (infatti questa è l\'inversione degli operatori suddetta) c\'è qlc da dire:
<BR>
<BR>data una successione di funzioni {f_n} : X -> R
<BR>
<BR>definita F=sum[n=0....inf] f_n la funzione somma e F_k=sum[n=0...k] f_n le somme parziali
<BR>
<BR>posto che F_k sia derivabile su X per ogni k
<BR>posto che {F_k}--->F puntualmente su X
<BR>posto che {d/dx (F_k)}----->G uniformemente su X
<BR>(dove d/dx (F_k)=sum[n=0....k] d/dx (f_n) è la derivata della k-esima somma parziale e G è la funzione a cui convergono dette derivate)
<BR>
<BR>allora F è derivabile su X
<BR>e
<BR>d/dx (F) = G = sum[n=0...inf] d/dx (f_n) su X.
<BR>
<BR>Senza le ipotesi di convergenza, l\'operatore
<BR>B: {funzioni C-inf su R}--->{funzioni C-inf su R}
<BR>non è definito e quindi il problema non ha senso...
<BR>ha senso chiedersi cosa succeda se la serie che definisce B[f] esiste, ma la serie delle derivate non converge uniformemente...anche se non credo che possa darsi un caso simile.

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