triangoli ortologici

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

Moderatore: tutor

Bloccato
Avatar utente
karl
Messaggi: 926
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/ortlg.bmp"><!-- BBCode End -->
<BR>In un piano si considerino i triangoli ABC ed MNP tali che
<BR>la perpendicolare per M a BC ,la perpendicolare per N
<BR>ad AC e la perpendicolare per P ad AB concorrano in un
<BR>medesimo punto [si dice pure che MNP e\' il triangolo
<BR>ortologico di ABC].
<BR><!-- BBCode Start --><B>Dimostrare che ABC e\' ,a sua volta,il triangolo ortologico
<BR>di MNP</B><!-- BBCode End -->.
<BR>Insomma la proprieta\' in questione e\' simmetrica.
<BR>Forse e\' facile, ma \"sto\" problema mi sta tormentando da un po\';
<BR>lo posto oggi 16/09 per un motivo che molti comprenderanno.
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 17-09-2004 14:47 ]

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4759
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Visto che sono buono (e in vacanza) butto lì un suggerimento:
<BR>quanto fa
<BR>AN^2-NC^2+CM^2-MB^2+BP^2-AP^2
<BR>??
<BR>
<BR>(E\' la generalizzazione della stessa somma fatta su un quadrilatero, invece che un esagono, con le diagonali perpendicolari...ovvero, presi AB e CD perpendicolari, quanto fa AC^2-AD^2+DB^2-BC^2 ??)
<BR>
<BR>Buon lavoro!!

kaboom
Messaggi: 11
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: PG

Messaggio da kaboom » 01 gen 1970, 01:33

il problema sembra banale
<BR>
<BR>nasta osservare che PM=NM*2AC*SQRT (MOD 2)
<BR>
<BR>e quindi i triangoli sono congrui
<BR>
<BR>ora RC= AB*NM (MOD 2) da cui dopo vari smanettamenti ne viene banalmente la tesi

Avatar utente
karl
Messaggi: 926
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

\"
<BR>il problema sembra banale
<BR>nasta osservare che PM=NM*2AC*SQRT (MOD 2)
<BR>e quindi i triangoli sono congrui
<BR>ora RC= AB*NM (MOD 2) da cui dopo vari smanettamenti ne viene banalmente la tesi
<BR>\"
<BR>Cosa vogliono dire le scritture precedenti?
<BR>Ho l\'impressione che,a volte, su questo sito si
<BR>giochi (volutamente ?) a nascondino....
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 18-09-2004 20:37 ]

kaboom
Messaggi: 11
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: PG

Messaggio da kaboom » 01 gen 1970, 01:33

cosa non ti è chiaro? non mi sembra di parlare russo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

Avatar utente
karl
Messaggi: 926
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Sono quelle due espressioni:
<BR>PM=NM*2AC*SQRT (MOD 2) ed RC= AB*NM (MOD 2)
<BR>di cui ignoro il significato .
<BR>Non di quello aritmetico ovviamente (so che
<BR>vuol dire mod) ma di quello riferito al contesto
<BR>del problema che ho proposto .
<BR>Grazie.

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4759
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-18 02:03, EvaristeG wrote:
<BR>Visto che sono buono (e in vacanza) butto lì un suggerimento:
<BR>quanto fa
<BR>AN^2-NC^2+CM^2-MB^2+BP^2-AP^2
<BR>??
<BR>
<BR>(E\' la generalizzazione della stessa somma fatta su un quadrilatero, invece che un esagono, con le diagonali perpendicolari...ovvero, presi AB e CD perpendicolari, quanto fa AC^2-AD^2+DB^2-BC^2 ??)
<BR>
<BR>Buon lavoro!!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Nn stavo skerzando...è un suggerimento davvero!!!!
<BR>Su, risolvete...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 19-09-2004 19:59 ]

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4759
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

visto che nessuno ha risposto e che non so se karl ha poi risolto...abbozzo (per coloro ai quali potesse interessare - ovvero pochi) la soluzione :
<BR>
<BR>la somma che ho scritto in un post precedente è nulla nel caso in questione:
<BR>AN^2-NC^2+CM^2-MB^2+BP^2-AP^2=0
<BR>infatti può essere vista come una condizione sufficiente per la concorrenza in S delle perpendicolari ai lati di ABC
<BR>ma contemporaneamente essa esprime una condizione necessaria per la concorrenza in R delle perpendicolari ai lati di MNP
<BR>queste ultime due affermazioni sono una conseguenza del teorema di pitagora applicato a un po\' degli innumeri triangoli rettangoli contenuti lì dentro.
<BR>

Avatar utente
karl
Messaggi: 926
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Avevo immaginato che per il calcolo della espressione suggerita da
<BR>Evariste-Galois servissero svariati \"Pitagora\",ma non ho avuto la
<BR>forza di sviluppare i calcoli, convinto com\'ero che potesse esserci una soluzione puramente sintetica (chissa\' se poi c\'e\' davvero).Ora e\'
<BR>tutto chiaro:dalla simmetria dell\'espressione (una volta dimostrata vera) si puo\' far discendere la simmetria della \"ortologicita\' (non mi viene un termine
<BR>...meno brutto) .
<BR>Grazie.
<BR>

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4759
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

la dimostrazione è assai breve, in realtà
<BR>non servono molti pitagora, ne basta uno per ogni termine...tracciando 6 segmentini in più...ti inviterei a trovarla...tu o chiunque altro abbia voglia(=nessuno).

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4759
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Già che ci siamo...ecco un problema simpatico sui triangoli ortologici, che farebbe quasi venir voglia di chiamare la relazione di ortologia una relazione di equivalenza (non lo è purtroppo) :
<BR>
<BR>Siano ABC e DEF due triangoli ortologici; siano M,N,P su AD, BE, CF tali che
<BR>AM/MD=BN/NE=CP/PF=a.
<BR>Dimostrare che MNP è ortologico ad ABC e a DEF e che, definito similmente M\'N\'P\' con costante b invece che a, MNP e M\'N\'P\' sono ortologici per ogni scelta di a e b.
<BR>
<BR>Cosa strana, questa proprietà vale solo sul piano...

Avatar utente
karl
Messaggi: 926
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Ho capito come si dimostra la tua prima relazione
<BR>(quella sui \"pitagora\").Se nessuno mi precede
<BR>domani la posto :all\'uopo ho leggermente modificato la
<BR>figura .
<BR>...Notte.
<BR>
<BR>

Avatar utente
karl
Messaggi: 926
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Con riferimento alla figura si ha:
<BR>NQ^2=AN^2-AQ^2=CN^2-CQ^2 da cui
<BR>AN^2-CN^2=AQ^2-CQ^2 =(AQ^2+QS^2)-(CQ^2+QS^2) cioe\'
<BR>1)AN^2-CN^2=AS^2-CS^2 ed analogamente
<BR>2)CM^2-BM^2=CS^2-BS^2
<BR>3)BP^2-AP^2=BS^2-AS^2
<BR>Sommando 1,2 e 3:
<BR>AN^2+CM^2+BP^2=CN^2+BM^2+AP^2
<BR>Poiche\' questa eguaglianza non muta scambiando i ruoli
<BR>dei due triangoli,la relazione di simmetria e\' dimostrata.

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4759
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-21 23:22, EvaristeG wrote:
<BR>Già che ci siamo...ecco un problema simpatico sui triangoli ortologici, che farebbe quasi venir voglia di chiamare la relazione di ortologia una relazione di equivalenza (non lo è purtroppo) :
<BR>
<BR>Siano ABC e DEF due triangoli ortologici; siano M,N,P su AD, BE, CF tali che
<BR>AM/MD=BN/NE=CP/PF=a.
<BR>Dimostrare che MNP è ortologico ad ABC e a DEF e che, definito similmente M\'N\'P\' con costante b invece che a, MNP e M\'N\'P\' sono ortologici per ogni scelta di a e b.
<BR>
<BR>Cosa strana, questa proprietà vale solo sul piano...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>UP!
<BR>
<BR>(visto che non ho nulla da fare, passo il tempo a uppare i miei problemi)

Bloccato