Inviato: 01 gen 1970, 01:33
prima di tutto un saluti a tutti gli utenti del forum.
<BR>veniamo al quesito:
<BR>si tratta dello studio di una funzione in 2 variabili; vi mando il testo e quello che ho fatto finora.
<BR>manca una cosa ed e\' in fondo quello di cui non sono sicuro, ovvero LO STUDIO PER I VALORI DELLA RETTA Y=X cioe\' se la fz e\' derivabile e/o differenziabile nei punti (X0,X0).........
<BR>
<BR>spero che voi espertoni mi aiutiate!!!!!!ecco il dolente problema:
<BR>
<BR>Data la funzione f(x,y)=(x-y)^2*sin(1/(x-y))
<BR>
<BR>1.determinare il dominio.
<BR>
<BR>2.dire se e dove e’ prolungabile con continuita’
<BR>
<BR>3. studiare l’esistenza delle derivate parziali della funzione prolungata.
<BR>
<BR>4.studiare la differenziabilita’ della funzione prolungata
<BR>
<BR> -----------------------------------
<BR>
<BR>La funzione f(x,y)=(x-y)^2*sin(1/(x-y)) è definita e continua su tutto R2, escluso tutti i punti (x,y) tali che x=y
<BR>
<BR>(infatti per tali valori l\'argomento del seno va + o - infinito).
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>Quindi si può dire che il suo Dominio sia:
<BR>
<BR>R2\\{(x,y):x=y}. Leggi: \"tutto R2 esclusi i punti tali che x=y\"
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>Per estendere la funzione per continuità è necessario calcolare il limite per x->y della f(x,y) ed accertarsi che tale limite sia finito; vediamo:
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>poniamo z=x-y, allora la funzione f(x,y)
<BR>
<BR>diviene:
<BR>
<BR>f(x,y)=f(z)=z^2*sin(1/z)
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>per x->y z->0 quindi il limite cercato è uguale al limite:
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>lim(z->0) f(z)
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>Ora,per z->0, z^2 tende a zero mentre sin(1/z) resta comunque limitato tra -1 e +1.
<BR>
<BR>Per un noto teorema sui limiti
<BR>
<BR>\"il limite di una funzione limitata per una tendente a zero, vale zero\".
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>Si conclude che: lim(z->0) f(z)=0 e quindi lim(x->y) f(x,y)=0.
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>Quindi per prolungare la continuità di f(x,y), basta \"ribattezzarla\" nel seguente
<BR>
<BR>modo:
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>f(x,y)=(x-y)^2*sin(1/(x-y)) per x diverso da y
<BR>
<BR>f(x,y)=0 per x=y
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>Allora f(x,y) così definita, è continua su tutto R2.
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>Per quanto riguarda le derivate parziali, si ha:
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>df/dx=2(x-y)sin(1/(x-y))-cos(1/(x-y))
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>df/dy=-2(x-y)sin(1/(x-y))+cos(1/(x-y))
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>quindi si osserva che df/dx=-df/dy
<BR>
<BR>Si osserva che queste sono entrambe definite su R2\\{(x,y):x=y}, ed in tale intervallo sono continue.
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>Riepilogando; la funzione f(x,y) ammette derivate parziali su R2\\{(x,y):x=y}
<BR>
<BR>e queste sono continue nel medesimo intervallo;
<BR>
<BR>si deduce che la funzione f(x,y) è differenziabile in tale intervallo.
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>studiando la dervata parziale lungo la retta y=x, applicando la definizione il limite dovrebbe esistere finito(credo...se ho fatto bene i conti), dunque si puo\' concludere che f(x,y) e derivabile su tutto R2???
<BR>
<BR>e per la differenziabilita\'???
<BR>
<BR>
<BR>veniamo al quesito:
<BR>si tratta dello studio di una funzione in 2 variabili; vi mando il testo e quello che ho fatto finora.
<BR>manca una cosa ed e\' in fondo quello di cui non sono sicuro, ovvero LO STUDIO PER I VALORI DELLA RETTA Y=X cioe\' se la fz e\' derivabile e/o differenziabile nei punti (X0,X0).........
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<BR>spero che voi espertoni mi aiutiate!!!!!!ecco il dolente problema:
<BR>
<BR>Data la funzione f(x,y)=(x-y)^2*sin(1/(x-y))
<BR>
<BR>1.determinare il dominio.
<BR>
<BR>2.dire se e dove e’ prolungabile con continuita’
<BR>
<BR>3. studiare l’esistenza delle derivate parziali della funzione prolungata.
<BR>
<BR>4.studiare la differenziabilita’ della funzione prolungata
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<BR>La funzione f(x,y)=(x-y)^2*sin(1/(x-y)) è definita e continua su tutto R2, escluso tutti i punti (x,y) tali che x=y
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<BR>(infatti per tali valori l\'argomento del seno va + o - infinito).
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<BR>Quindi si può dire che il suo Dominio sia:
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<BR>R2\\{(x,y):x=y}. Leggi: \"tutto R2 esclusi i punti tali che x=y\"
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<BR>Per estendere la funzione per continuità è necessario calcolare il limite per x->y della f(x,y) ed accertarsi che tale limite sia finito; vediamo:
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<BR>poniamo z=x-y, allora la funzione f(x,y)
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<BR>diviene:
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<BR>f(x,y)=f(z)=z^2*sin(1/z)
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<BR>per x->y z->0 quindi il limite cercato è uguale al limite:
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<BR>lim(z->0) f(z)
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<BR>Ora,per z->0, z^2 tende a zero mentre sin(1/z) resta comunque limitato tra -1 e +1.
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<BR>Per un noto teorema sui limiti
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<BR>\"il limite di una funzione limitata per una tendente a zero, vale zero\".
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<BR>Si conclude che: lim(z->0) f(z)=0 e quindi lim(x->y) f(x,y)=0.
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<BR>Quindi per prolungare la continuità di f(x,y), basta \"ribattezzarla\" nel seguente
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<BR>modo:
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<BR>f(x,y)=(x-y)^2*sin(1/(x-y)) per x diverso da y
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<BR>f(x,y)=0 per x=y
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<BR>Allora f(x,y) così definita, è continua su tutto R2.
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<BR>Per quanto riguarda le derivate parziali, si ha:
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<BR>df/dx=2(x-y)sin(1/(x-y))-cos(1/(x-y))
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<BR>df/dy=-2(x-y)sin(1/(x-y))+cos(1/(x-y))
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<BR>quindi si osserva che df/dx=-df/dy
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<BR>Si osserva che queste sono entrambe definite su R2\\{(x,y):x=y}, ed in tale intervallo sono continue.
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<BR>Riepilogando; la funzione f(x,y) ammette derivate parziali su R2\\{(x,y):x=y}
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<BR>e queste sono continue nel medesimo intervallo;
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<BR>si deduce che la funzione f(x,y) è differenziabile in tale intervallo.
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<BR>studiando la dervata parziale lungo la retta y=x, applicando la definizione il limite dovrebbe esistere finito(credo...se ho fatto bene i conti), dunque si puo\' concludere che f(x,y) e derivabile su tutto R2???
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<BR>e per la differenziabilita\'???
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