aiutino per funzione in 2 variabili!!!!

oldfox · Messaggio da **oldfox** » 01 gen 1970, 01:33

prima di tutto un saluti a tutti gli utenti del forum.
 veniamo al quesito:
 si tratta dello studio di una funzione in 2 variabili; vi mando il testo e quello che ho fatto finora.
 manca una cosa ed e\' in fondo quello di cui non sono sicuro, ovvero LO STUDIO PER I VALORI DELLA RETTA Y=X cioe\' se la fz e\' derivabile e/o differenziabile nei punti (X0,X0).........
 
 spero che voi espertoni mi aiutiate!!!!!!ecco il dolente problema:
 
 Data la funzione f(x,y)=(x-y)^2*sin(1/(x-y))
 
 1.determinare il dominio.
 
 2.dire se e dove e’ prolungabile con continuita’
 
 3. studiare l’esistenza delle derivate parziali della funzione prolungata.
 
 4.studiare la differenziabilita’ della funzione prolungata
 
 -----------------------------------
 
 La funzione f(x,y)=(x-y)^2*sin(1/(x-y)) è definita e continua su tutto R2, escluso tutti i punti (x,y) tali che x=y
 
 (infatti per tali valori l\'argomento del seno va + o - infinito).
 
 
 
 Quindi si può dire che il suo Dominio sia:
 
 R2\\{(x,y):x=y}. Leggi: \"tutto R2 esclusi i punti tali che x=y\"
 
 
 
 Per estendere la funzione per continuità è necessario calcolare il limite per x->y della f(x,y) ed accertarsi che tale limite sia finito; vediamo:
 
 
 
 poniamo z=x-y, allora la funzione f(x,y)
 
 diviene:
 
 f(x,y)=f(z)=z^2*sin(1/z)
 
 
 
 per x->y z->0 quindi il limite cercato è uguale al limite:
 
 
 
 lim(z->0) f(z)
 
 
 
 Ora,per z->0, z^2 tende a zero mentre sin(1/z) resta comunque limitato tra -1 e +1.
 
 Per un noto teorema sui limiti
 
 \"il limite di una funzione limitata per una tendente a zero, vale zero\".
 
 
 
 Si conclude che: lim(z->0) f(z)=0 e quindi lim(x->y) f(x,y)=0.
 
 
 
 Quindi per prolungare la continuità di f(x,y), basta \"ribattezzarla\" nel seguente
 
 modo:
 
 
 
 f(x,y)=(x-y)^2*sin(1/(x-y)) per x diverso da y
 
 f(x,y)=0 per x=y
 
 
 
 Allora f(x,y) così definita, è continua su tutto R2.
 
 
 
 Per quanto riguarda le derivate parziali, si ha:
 
 
 
 df/dx=2(x-y)sin(1/(x-y))-cos(1/(x-y))
 
 
 
 df/dy=-2(x-y)sin(1/(x-y))+cos(1/(x-y))
 
 
 
 quindi si osserva che df/dx=-df/dy
 
 Si osserva che queste sono entrambe definite su R2\\{(x,y):x=y}, ed in tale intervallo sono continue.
 
 
 
 Riepilogando; la funzione f(x,y) ammette derivate parziali su R2\\{(x,y):x=y}
 
 e queste sono continue nel medesimo intervallo;
 
 si deduce che la funzione f(x,y) è differenziabile in tale intervallo.
 
 
 
 studiando la dervata parziale lungo la retta y=x, applicando la definizione il limite dovrebbe esistere finito(credo...se ho fatto bene i conti), dunque si puo\' concludere che f(x,y) e derivabile su tutto R2???
 
 e per la differenziabilita\'???

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Questo problema su questo forum è OT. Qui si parla di problemi olimpici.
 Ti consiglio di cancellare il tuo messaggio e di ripostarlo su Mathlinks (<A HREF="http://www.mathlinks.ro" TARGET="_blank">www.mathlinks.ro</A>), nella sezione College Playground.

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

trovo inappropriato e inopportuno il messaggio di mindflyer, ritengo che qui si possano postare anche questioni off-topic: la sezione è \"proponi i problemi\" non \"proponi i problemi olimpici\". certo, se lo dovessi fare continuatamente, non saresti il più benvisto, però spero che qualcuno ti risponda. (io non ne sono in grado).
 spero di trovare almeno l\'appoggio di fph e marco...

DB85 · Messaggio da **DB85** » 01 gen 1970, 01:33

Anch\'io sono d\'accordo con ma_go. Certo, purtoppo nn posso aiutare il nostro nuovo amico perchè nn ho queste conoscenze di analisi, ma l\'avrei fatto se avessi potuto. Nel sito ci sono tante cose OT che vengono ignorate e sono molto più gravi di questa... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 16-09-2004 15:43 ]

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Perché inappropriato e inopportuno?? A parte che non avrei avuto nulla da obiettare se il problema fosse stato postato nella sezione \"proponi i problemi\", visto che non esiste... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 Comunque, adesso non esageriamo con la contro-censura! Il contenuto del mio messaggio era:
 1) Il problema è OT. Vero, secondo le definizioni date poco tempo fa, ed accettate all\'unanimità (per la nota regola del chi tace acconsente).
 2) Qui si parla di problemi olimpici. Su questo avete ragione: è falso. Qui si parla di tutto, *tranne* di problemi olimpici. Guai a voi se ne postate.
 3) Consiglio di spostare il messaggio in un forum più adatto. Beh, visto che qua nessuno è in grado/ha voglia di rispondere, il problema è OT, il target del forum sono dei ragazzi che non sanno e non vogliono sapere nulla di funzioni differenziabili in 2 variabili, mi sembra la cosa più onesta.
 
 Saludos!

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

Dato che mi chiamano in causa, intervengo.
 
 Secondo me il messaggio non è OT. Purtroppo, finché non avremo la tanto agognata suddivisione della categoria esercizi in sottocategorie, il messaggio è on-topic. Poi non sono d\'accordo nemmeno con il secondo messaggio di M.F., laddove dice che
 
 \"Beh, visto che qua nessuno è in grado/ha voglia di rispondere, il problema è OT, il target del forum sono dei ragazzi che non sanno e non vogliono sapere nulla di funzioni differenziabili in 2 variabili, mi sembra la cosa più onesta.\"
 
 Diamine: questo sito è seguito da studenti della scuola secondaria, olimpionici, aspiranti olimpionici, mancati olimpionici, ex-olimpionici, studenti universitari di almeno tre corsi di laurea (per quanto ne so), laureati, ricercatori, arte varia.
 
 Possibile che tra questi non ci sia nessuno che ha dato l\'esame di Analisi II? (beh, a dire il vero, io l\'ho dato...). Quindi qualcuno che (in teoria) è in grado di affrontare l\'esercizio c\'è. Che poi, visto lo stile dell\'esercizio, non ci piaccia perché non è olimpico in senso stretto, beh... abbiamo visto di peggio.
 
 Se ci fosse una suddivisione della categoria tra
 Algebra,
 Geometria,
 Combinatoria,
 < put your favourite subjects here >,
 Matematica non olimpica,
 Non matematica;
 
 beh, allora qui saremmo nella M.n.o.
 
 Tutto sommato, se c\'è qualche ragazzo che non sa che cos\'è una fz in due variabili e vuole saperne di più, perché no? Se uno \"non lo sa e non lo vuole sapere\", abbiamo 30.000 topics aperti, che vada altrove!
 
 @Ma_Go: Infinite grazie dal mio smisurato ego per avermi riconosciuto quale autorità tra i cerberi... Essere citato a fianco di Fph è per me un onore! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 Ciao.
 
 M.[addsig]

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-09-16 16:54, marco wrote:
 Essere citato a fianco di Fph è per me un onore! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 No, forse non ci siamo capiti... Essere citato a fianco di Marco Cammi e\' un onore per *me*.
 
 Cmq, innanzitutto:
 
 risposta alla domanda di oldfox: non e\' sufficiente verificare che esista la derivata parziale lungo una retta per essere sicuri che la funzione sia differenziabile (non derivabile: derivabile, in due variabili, non significa molto...). Dovresti verificare \"a mano\" che esista una funzione lineare che dista o(x^2+y^2) dalla tua funzione, in qualunque direzione \"la si guardi\".
 Nel tuo caso poi quella e\' una \"funzione patologica\": hai gia\' studiato il comportamento di x^2 sin (1/x) in una variabile? Dovrebbe venire (se non dico boiate) derivabile (ma con derivata non continua), ma lo studio non e\' semplice.
 
 A questo punto dovresti vedere come si comportano le funzioni (x,y)->x-y e x->x^2sin(1/x) quando le si compone, per avere la risposta che ti interessa.
 
 Sempre per oldfox: ti invito a leggere la proposta di regole per l\'utilizzo del forum e ad adeguarti ad essa in futuro (specialmente per quanto riguarda alle convenzioni su che nome dare ai topic, a questo avresti dovuto premettere un [+])
 
 Per quanto riguarda la politica di questo sito riguardo alla matematica universitaria, avevo fatto una precisa proposta nel messaggio contenente la suddetta proposta di regole. Se i \"vecchi frequentatori\" hanno qualcosa in contrario credo sia meglio discuterne li\' (cosi\' eventualmente la proposta si puo\' ufficializzare, una volta avuto il consenso di tutti)
 
 ciao,
 --federico