Piccolo quesito

[karotto]

4 dei 5 numeri seguenti seguono una semplice regola. Elimina il numero che non rispetta la regola
<BR>1584, 5255, 4164, 4328, 8243

[gippo]

Il secondo non contiene alcun 4 tra le sue cifre. Non ho voglia di pensare oltre <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

[MaMo]

Scriviamo il numero in forma polinomiale:
<BR>1000a + 100b + 10 c + d
<BR>Ogni numero tranne il primo segue la regola:
<BR>ad = 10b + c

[ma_go]

beh, colgo l\'occasione per essere un po\' OT.
<BR>non voglio denigrare karotto, né nessuno che proponga tali esercizi. vorrei solo far notare quanto essi siano opinabili. non esiste un metodo univoco per eliminare uno dei quattro. si può trovare tranquillamente un certo k tale che, di cinque numeri a,b,c,d,e, solo 4 tra a^k,b^k,c^k,d^k,e^k siano congrui ad 1 modulo n per qualche n...
<BR>insomma, la cosa è molto opinabile, penso l\'abbiate capito.
<BR>scusate <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

[gippo]

Era questo lo spirito della mia risposta... si potrebbe tentare di migliorare il problema richiedendo di trovare la regola \"più semplice\", ad esempio quella che richiederebbe il minore numero di byte per essere codificata in un programma (che prenda in pasto i numeri e sputi fuori l\'eletto).
<BR>
<BR>EDIT: tale programma deve dare la stessa risposta indipendentemente dall\'ordine con i numeri gli vengono presentati in ingresso.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: gippo il 15-09-2004 14:20 ]

[Boll]

Si potrebbero trovare infinite configurazioni per cui un numero va escluso, ad esempio 8243 è l\'unico primo

[Marco]

Signori, la soluzione è chiaramente 1584 perché non è ottenibile permutando le cifre di nessuno dei numeri dell\'insieme dato. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Facendo un piccolo riepilogo:
<BR>
<BR>Gippo: 5255
<BR>MaMo: 1584
<BR>Ma_Go: tutti e nessuno
<BR>Boll: 8243
<BR>Marco: 1584
<BR>
<BR>Chiaramente 1584 è in testa!!
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.
<BR>[addsig]

[HiTLeuLeR]

Dacché ci siamo, mi permetto d\'esprimere anche il mio parere sul conto di questo pietosissimo problema... Ecco, la mia risposta sarebbe stata Li(g(e^Pi)), ove Li(-) rappresenta il logaritmo integrale e g(-) denota la gamma di Eulero! Adesso <!-- BBCode Start --><I>provo</I><!-- BBCode End --> a spiegarmi meglio...
<BR>
<BR>Supponiamo di considerare due insiemi di numeri reali U := {a₁, a₂, ..., a_n} e V := {b₁, b₂, ..., b_n}, con n intero > 0, ai quali sia associata una funzione L(-): U --> V per cui L(a_k) = b_k, per ogni k = 1, 2, ..., n. Si ammette che a_j sia diverso da a_k, per ogni j, k = 1, 2, ..., n tali che j è diverso da k.
<BR>
<BR>Intendo dimostrare ch\'esiste allora un polinomio P(-) a coefficienti reali di grado al più pari ad n-1 tale che: P(a_k) = L(a_k) = b_k, per ogni k = 1, 2, ..., n. In altre parole, desidero provare che...:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Lemma</B><!-- BBCode End -->: <!-- BBCode Start --><I>qualunque sia</I><!-- BBCode End --> la legge L(-) tramite cui gli elementi di U sono associati agli elementi di V, indipendentemente dalla sua complessità e da ogni altra considerazione contingente, esiste sempre un\'<!-- BBCode Start --><I>altra</I><!-- BBCode End --> legge P(-), questa di natura più semplicemente polinomiale, tale che la corrispondenza stabilita da L(-) fra gli insiemi U e V sia preservata nondimeno da P(-).
<BR>
<BR>Dim.: sia dunque Q(-) un generico polinomio di grado <= n-1 a coefficienti reali. Possiamo assumere Q(x) := sum[j=0...n-1] c_jx^n-1-j, per ogni x reale, ove c₀, c₁, ..., c_n-1 stanno in R.
<BR>
<BR>Imponiamo quindi che sia Q(a_i) = b_i, per ogni i = 1, 2, ..., n; ovvero che, comunque scelto un i = 1, 2, ..., n, si abbia: sum[j=0...n-1] c_ja_i^n-1-j = b_i. Otteniamo in tal modo un sistema LINEARE di n equazioni nelle n incognite c₀, c₁, ..., c_n-1 che, riscritto in notazione matriciale, assume la forma \"compatta\": A·c = B, ove A è la matrice dei coefficienti del sistema, c := [c₀, c₁, ..., c_n-1]^T è il vettore colonna delle incognite e B la matrice dei termini noti.
<BR>
<BR>Il simbolo \"^T\" indica qui l\'operazione di trasposizione matriciale, mentre \"·\" denota l\'ordinaria operazione di prodotto righe per colonne.
<BR>
<BR>Più esplicitamente: A := [a_{i, j}], con a_{i, j} := a_i^n-1-j, per ogni i, j = 1, 2, ..., n; B := [b₁, b₂, ..., b_n]^T. Poiché la pedanteria non è un optional, insisto qui con il sottolineare che a₁, a₂, ..., a_n, b₁, b₂, ..., b_n sono DATI del problema!!!
<BR>
<BR>Ora, a meno di operazioni di permutazione e trasposizione sulle righe e le colonne della matrice dei coefficienti A, è evidente che il suo determinante è di Vandermonde, e come tale è diverso da zero, per aver supposto a_j diverso da a_k, per ogni j, k = 1, 2, ..., n tali che j sia diverso da k.
<BR>
<BR>E allora A è una matrice di rango pieno, e di conseguenza il sistema A·c = B risulta certamente compatibile. Inoltre, in accordo al teorema di Rouché-Capelli, la sua soluzione è unica! Diciamo pertanto c\' := [c\'₁, c\'₂, ..., c\'_n] il vettora riga (univocamente determinato) ch\'è rappresentativo di una tale soluzione.
<BR>Poniamo quindi P(x) := sum c\'_ix^n-1-i. Per costruzione, qualunque sia j = 1, 2, ..., n: P(a[j]) = b[j] = L(a[j]), sicché P(-) \"ricostruisce\" polinomialmente la corrispondenza stabilita da L(-) fra gli insiemi U e V, q.e.d.
<BR>
<BR>Alla luce del risultato precedente, proviamo a questo punto il seguente...:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>TeoReMa Di HiT</B><!-- BBCode End -->: il <!-- BBCode Start --><I>quiz</I><!-- BBCode End --> proposto offende l\'intelligenza dell\'umanità tutta!
<BR>
<BR>Dim.: sia P(-) il polinomio (unico!) la cui esistenza è garantita dal lemma precedentemente dimostrato. Sia quindi T(x) := P(x) + R(x) · prod[j=1...n] (x - a_j), essendo R(-) un QUALSIVOGLIA polinomio a coefficienti reali di grado arbitrario.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><I>Ergo</I><!-- BBCode End -->, per ogni i = 1, 2, ..., n: T(a_i) = P(a_i) + Q(a_i) · prod[j=1...n] (a_i - a_j) = P(a_i) + Q(a_i) · 0 = P(a_i) = L(a_i), poiché esiste certamente j\' = 1, 2, ..., n tale che sia: a_i = a_j\'.
<BR>
<BR>E allora T(-), come già precedentemente P(-), \"interpola\" L(-) polinomialmente nei punti a₁, a₂, ..., a_n, per ogni Q(-) appartenente ad R[x] (l\'anello dei polinomi di una variabile reali a coefficienti in R).
<BR>
<BR>Pertanto, assegnate che siano due sequenze finite di numeri reali a₁, a₂, ..., a_n, a_n+1 e b₁, b₂, ..., b_n tali che a_i <--> b_i, per ogni i = 1, 2, ..., n, con n intero > 0 e a_i = a_j sse i = j, per ogni i, j = 1, 2, ..., n+1, si conclude naturalmente che il problema di <!-- BBCode Start --><I>dedurre un pattern</I><!-- BBCode End --> sulla base della sola conoscenza della corrispondenza stabilita fra i primi n termini delle due successioni, onde <!-- BBCode Start --><I>prevedere</I><!-- BBCode End --> il valore b_n+1 auspicabilmente associato al termine a_n+1, risulta <!-- BBCode Start --><B>privo di ogni senso</B><!-- BBCode End -->, dacché b_n+1 è libero di assumere qualsiasi valore reale, in funzione della piena arbitrarietà di scelta del polinomio Q(-) nella definizione della funzione polinomiale T(-) che, come già detto, interpola (per quanto \"caotica\" e irregolare) la legge L(-) che associa ordinatamente ad a₁, a₂, ..., a_n gli n valori b₁, b₂, ..., b_n, q.e.d.
<BR>
<BR>Mi scuso per le divagazioni in campi non propriamente affini alla Matematica olimpica, ma in fondo spero che tutto questo possa essere servito a qualcosa!
<BR>
<BR>P.S.: marco?! Beh, direi che non c\'è storia... Vuoi mettere quel tuo numerello insipido con il mio Li(g(e^Pi))?
<BR>
<BR>
<BR>\"Impia tortorum longas hic turba furores
<BR>Sanguinis innocui, non satiata, aluit.
<BR>Sospite nunc patria, fracto nunc funeris antro,
<BR>Mors ubi dira fuit vita salusque patent.\"
<BR>
<BR>all\'ingresso del mercato sorto sui resti del Club dei Giacobini di Parigi<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-09-2004 12:52 ]