Piccolo quesito

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

Moderatore: tutor

Bloccato
karotto
Messaggi: 357
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karotto » 01 gen 1970, 01:33

4 dei 5 numeri seguenti seguono una semplice regola. Elimina il numero che non rispetta la regola
<BR>1584, 5255, 4164, 4328, 8243

gippo
Messaggi: 58
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Tours (Francia)

Messaggio da gippo » 01 gen 1970, 01:33

Il secondo non contiene alcun 4 tra le sue cifre. Non ho voglia di pensare oltre <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
E d'un tratto capii che il pensare è per gli stupidi, mentre i cervelluti si affidano all'ispirazione!
<br><br><center>
<img src = http://www.sssup.it/~gippo/pictures/alex.jpg></center>
<script LANGUAGE="JavaScript">alert("Errore Fatale");</script>

MaMo
Messaggi: 54
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da MaMo » 01 gen 1970, 01:33

Scriviamo il numero in forma polinomiale:
<BR>1000a + 100b + 10 c + d
<BR>Ogni numero tranne il primo segue la regola:
<BR>ad = 10b + c

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

beh, colgo l\'occasione per essere un po\' OT.
<BR>non voglio denigrare karotto, né nessuno che proponga tali esercizi. vorrei solo far notare quanto essi siano opinabili. non esiste un metodo univoco per eliminare uno dei quattro. si può trovare tranquillamente un certo k tale che, di cinque numeri a,b,c,d,e, solo 4 tra a<sup>k</sup>,b<sup>k</sup>,c<sup>k</sup>,d<sup>k</sup>,e<sup>k</sup> siano congrui ad 1 modulo n per qualche n...
<BR>insomma, la cosa è molto opinabile, penso l\'abbiate capito.
<BR>scusate <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

gippo
Messaggi: 58
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Tours (Francia)

Messaggio da gippo » 01 gen 1970, 01:33

Era questo lo spirito della mia risposta... si potrebbe tentare di migliorare il problema richiedendo di trovare la regola \"più semplice\", ad esempio quella che richiederebbe il minore numero di byte per essere codificata in un programma (che prenda in pasto i numeri e sputi fuori l\'eletto).
<BR>
<BR>EDIT: tale programma deve dare la stessa risposta indipendentemente dall\'ordine con i numeri gli vengono presentati in ingresso.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: gippo il 15-09-2004 14:20 ]
E d'un tratto capii che il pensare è per gli stupidi, mentre i cervelluti si affidano all'ispirazione!
<br><br><center>
<img src = http://www.sssup.it/~gippo/pictures/alex.jpg></center>
<script LANGUAGE="JavaScript">alert("Errore Fatale");</script>

Avatar utente
Boll
Messaggi: 1076
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piacenza

Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Si potrebbero trovare infinite configurazioni per cui un numero va escluso, ad esempio 8243 è l\'unico primo
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

Avatar utente
Marco
Site Admin
Messaggi: 1331
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: IMO '93

Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Signori, la soluzione è chiaramente 1584 perché non è ottenibile permutando le cifre di nessuno dei numeri dell\'insieme dato. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Facendo un piccolo riepilogo:
<BR>
<BR>Gippo: 5255
<BR>MaMo: 1584
<BR>Ma_Go: tutti e nessuno
<BR>Boll: 8243
<BR>Marco: 1584
<BR>
<BR>Chiaramente 1584 è in testa!!
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.
<BR>[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Dacché ci siamo, mi permetto d\'esprimere anche il mio parere sul conto di questo pietosissimo problema... Ecco, la mia risposta sarebbe stata Li(g(e<sup>Pi</sup>)), ove Li(-) rappresenta il logaritmo integrale e g(-) denota la gamma di Eulero! Adesso <!-- BBCode Start --><I>provo</I><!-- BBCode End --> a spiegarmi meglio...
<BR>
<BR>Supponiamo di considerare due insiemi di numeri reali U := {a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n</sub>} e V := {b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, ..., b<sub>n</sub>}, con n intero > 0, ai quali sia associata una funzione L(-): U --> V per cui L(a<sub>k</sub>) = b<sub>k</sub>, per ogni k = 1, 2, ..., n. Si ammette che a<sub>j</sub> sia diverso da a<sub>k</sub>, per ogni j, k = 1, 2, ..., n tali che j è diverso da k.
<BR>
<BR>Intendo dimostrare ch\'esiste allora un polinomio P(-) a coefficienti reali di grado al più pari ad n-1 tale che: P(a<sub>k</sub>) = L(a<sub>k</sub>) = b<sub>k</sub>, per ogni k = 1, 2, ..., n. In altre parole, desidero provare che...:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Lemma</B><!-- BBCode End -->: <!-- BBCode Start --><I>qualunque sia</I><!-- BBCode End --> la legge L(-) tramite cui gli elementi di U sono associati agli elementi di V, indipendentemente dalla sua complessità e da ogni altra considerazione contingente, esiste sempre un\'<!-- BBCode Start --><I>altra</I><!-- BBCode End --> legge P(-), questa di natura più semplicemente polinomiale, tale che la corrispondenza stabilita da L(-) fra gli insiemi U e V sia preservata nondimeno da P(-).
<BR>
<BR>Dim.: sia dunque Q(-) un generico polinomio di grado <= n-1 a coefficienti reali. Possiamo assumere Q(x) := sum[j=0...n-1] c<sub>j</sub>x<sup>n-1-j</sup>, per ogni x reale, ove c<sub>0</sub>, c<sub>1</sub>, ..., c<sub>n-1</sub> stanno in R.
<BR>
<BR>Imponiamo quindi che sia Q(a<sub>i</sub>) = b<sub>i</sub>, per ogni i = 1, 2, ..., n; ovvero che, comunque scelto un i = 1, 2, ..., n, si abbia: sum[j=0...n-1] c<sub>j</sub>a<sub>i</sub><sup>n-1-j</sup> = b<sub>i</sub>. Otteniamo in tal modo un sistema LINEARE di n equazioni nelle n incognite c<sub>0</sub>, c<sub>1</sub>, ..., c<sub>n-1</sub> che, riscritto in notazione matriciale, assume la forma \"compatta\": A·c = B, ove A è la matrice dei coefficienti del sistema, c := [c<sub>0</sub>, c<sub>1</sub>, ..., c<sub>n-1</sub>]<sup>T</sup> è il vettore colonna delle incognite e B la matrice dei termini noti.
<BR>
<BR>Il simbolo \"<sup>T</sup>\" indica qui l\'operazione di trasposizione matriciale, mentre \"·\" denota l\'ordinaria operazione di prodotto righe per colonne.
<BR>
<BR>Più esplicitamente: A := [a<sub>i, j</sub>], con a<sub>i, j</sub> := a<sub>i</sub><sup>n-1-j</sup>, per ogni i, j = 1, 2, ..., n; B := [b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, ..., b<sub>n</sub>]<sup>T</sup>. Poiché la pedanteria non è un optional, insisto qui con il sottolineare che a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n</sub>, b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, ..., b<sub>n</sub> sono DATI del problema!!!
<BR>
<BR>Ora, a meno di operazioni di permutazione e trasposizione sulle righe e le colonne della matrice dei coefficienti A, è evidente che il suo determinante è di Vandermonde, e come tale è diverso da zero, per aver supposto a<sub>j</sub> diverso da a<sub>k</sub>, per ogni j, k = 1, 2, ..., n tali che j sia diverso da k.
<BR>
<BR>E allora A è una matrice di rango pieno, e di conseguenza il sistema A·c = B risulta certamente compatibile. Inoltre, in accordo al teorema di Rouché-Capelli, la sua soluzione è unica! Diciamo pertanto c\' := [c\'<sub>1</sub>, c\'<sub>2</sub>, ..., c\'<sub>n</sub>] il vettora riga (univocamente determinato) ch\'è rappresentativo di una tale soluzione.
<BR>Poniamo quindi P(x) := sum c\'<sub>i</sub>x<sup>n-1-i</sup>. Per costruzione, qualunque sia j = 1, 2, ..., n: P(a[j]) = b[j] = L(a[j]), sicché P(-) \"ricostruisce\" polinomialmente la corrispondenza stabilita da L(-) fra gli insiemi U e V, q.e.d.
<BR>
<BR>Alla luce del risultato precedente, proviamo a questo punto il seguente...:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>TeoReMa Di HiT</B><!-- BBCode End -->: il <!-- BBCode Start --><I>quiz</I><!-- BBCode End --> proposto offende l\'intelligenza dell\'umanità tutta!
<BR>
<BR>Dim.: sia P(-) il polinomio (unico!) la cui esistenza è garantita dal lemma precedentemente dimostrato. Sia quindi T(x) := P(x) + R(x) · prod[j=1...n] (x - a<sub>j</sub>), essendo R(-) un QUALSIVOGLIA polinomio a coefficienti reali di grado arbitrario.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><I>Ergo</I><!-- BBCode End -->, per ogni i = 1, 2, ..., n: T(a<sub>i</sub>) = P(a<sub>i</sub>) + Q(a<sub>i</sub>) · prod[j=1...n] (a<sub>i</sub> - a<sub>j</sub>) = P(a<sub>i</sub>) + Q(a<sub>i</sub>) · 0 = P(a<sub>i</sub>) = L(a<sub>i</sub>), poiché esiste certamente j\' = 1, 2, ..., n tale che sia: a<sub>i</sub> = a<sub>j\'</sub>.
<BR>
<BR>E allora T(-), come già precedentemente P(-), \"interpola\" L(-) polinomialmente nei punti a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n</sub>, per ogni Q(-) appartenente ad R[x] (l\'anello dei polinomi di una variabile reali a coefficienti in R).
<BR>
<BR>Pertanto, assegnate che siano due sequenze finite di numeri reali a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n</sub>, a<sub>n+1</sub> e b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, ..., b<sub>n</sub> tali che a<sub>i</sub> <--> b<sub>i</sub>, per ogni i = 1, 2, ..., n, con n intero > 0 e a<sub>i</sub> = a<sub>j</sub> sse i = j, per ogni i, j = 1, 2, ..., n+1, si conclude naturalmente che il problema di <!-- BBCode Start --><I>dedurre un pattern</I><!-- BBCode End --> sulla base della sola conoscenza della corrispondenza stabilita fra i primi n termini delle due successioni, onde <!-- BBCode Start --><I>prevedere</I><!-- BBCode End --> il valore b<sub>n+1</sub> auspicabilmente associato al termine a<sub>n+1</sub>, risulta <!-- BBCode Start --><B>privo di ogni senso</B><!-- BBCode End -->, dacché b<sub>n+1</sub> è libero di assumere qualsiasi valore reale, in funzione della piena arbitrarietà di scelta del polinomio Q(-) nella definizione della funzione polinomiale T(-) che, come già detto, interpola (per quanto \"caotica\" e irregolare) la legge L(-) che associa ordinatamente ad a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n</sub> gli n valori b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, ..., b<sub>n</sub>, q.e.d.
<BR>
<BR>Mi scuso per le divagazioni in campi non propriamente affini alla Matematica olimpica, ma in fondo spero che tutto questo possa essere servito a qualcosa!
<BR>
<BR>P.S.: marco?! Beh, direi che non c\'è storia... Vuoi mettere quel tuo numerello insipido con il mio Li(g(e<sup>Pi</sup>))?
<BR>
<BR>
<BR>\"Impia tortorum longas hic turba furores
<BR>Sanguinis innocui, non satiata, aluit.
<BR>Sospite nunc patria, fracto nunc funeris antro,
<BR>Mors ubi dira fuit vita salusque patent.\"
<BR>
<BR>all\'ingresso del mercato sorto sui resti del Club dei Giacobini di Parigi<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-09-2004 12:52 ]

Bloccato