[N] L\'alchimia dei numeri.

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

Moderatore: tutor

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Essendo p un primo naturale > 3, sia posto C(p) := (7<sup>p</sup> - 6<sup>p</sup> - 1)/(42p). Dopo aver verificato che C(p) è un intero, dimostrare che C(p) è primo sse p = 5.
<BR>
<BR>
<BR>\"Black?! Sai cosa vorrei dirti, no? Inizia per \'f\' e termina per \'i\'...\" - HiTLeuLeR

DB85
Messaggi: 145
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Messaggio da DB85 » 01 gen 1970, 01:33

Verificare che C(p) è intero è semplice (basta usare \"the Fermat\'s little Theorem\" e una scomposizione), la condizione di C(p) numero primo è più dura... Proverò a lavorarci se trovo tempo... <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 14-09-2004 12:39 ]
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>[...] Proverò a lavorarci se trovo tempo...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Beh, che dire... l\'avvio pare promettente! Soltanto non vorrei ti creassi facili illusioni. Non per malvolenza, mi tocca infatti sottolineare che, in fondo, ti sei appena appena portato sulla linea dello start, dove immagino che gli altri ti stessero aspettando già da un pezzo! Uff, che sono pedante... o forse avrei dovuto scriverci \"pe<!-- BBCode Start --><B>s</B><!-- BBCode End -->ante\"? Boh, bricolage...
<BR>
<BR>
<BR>\"Chi non ha più che un momento da vivere, non ha più nulla da poter dissimulare.\" - dall\'<!-- BBCode Start --><I>Atys</I><!-- BBCode End --> di Quinault

Novecento
Messaggi: 44
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da Novecento » 01 gen 1970, 01:33

Data appunto per buona la condizione di \"integrità\", notiamo che quel nume ro è sempre multiplo di 43. Infatti o p è della forma 3k+1 con k pari o della forma 3h+2 con h dispari. Notiamo che 7^3==-1 mod43 mentre 6^3==1 mod43, controllando le congruenze nei casi sopra citati si ottiene la tesi.
<BR>
<BR>Del resto per p=5, l\'espressione assume valore 43, e poichè è crescente...
"Si può perdonare a qualcuno l'aver fatto qualcosa di utile purché non l'ammiri" O. Wilde

DB85
Messaggi: 145
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Messaggio da DB85 » 01 gen 1970, 01:33

Assolutamente giusto... stavo per postare la mia soluzione, ma novecento mi ha anticipato.
<BR>Io ho ragionato invece considerando p nelle consuete forme 6k +1 o 6k - 1 e quindi:
<BR>
<BR>- caso p=6k+1:
<BR> poichè 7^(6k) == 1 mod43 --> 7^(6k+1) == 7 mod43,
<BR> poichè 6^(6k) == 1 mod43 --> 6^(6k+1) == 6 mod43,
<BR> si ha 7^p-6^p-1 == 0 mod43.
<BR>- caso p=6k-1:
<BR> l\'inverso di 7 mod43 è 37, dunque 7^(6k-1) == 37 mod43;
<BR> l\'inverso di 6 mod43 è 36, dunque 6^(6k-1) == 36 mod43;
<BR> come sopra C(p) == 0 mod43.
<BR>
<BR>Alla fine le 2 soluzioni sono equivalenti.
<BR> P.S.: novecento, nn potevi alzarti più tardi questa mattina? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

OK per entrambe le soluzioni, ancorché le argomentazioni addotte da DB85, in verità, non siano <!-- BBCode Start --><I>del tutto</I><!-- BBCode End --> esenti da critiche, là dove specificamente egli identifica, <!-- BBCode Start --><I>vaga austeritate</I><!-- BBCode End -->, l\'inverso aritmetico di 7 mod 43 con l\'elemento reciproco di 7 in seno al gruppo moltiplicativo dei razionali non nulli. Per analogie e maggiori chiarificazioni, consiglio comunque di dare un\'occhiata alla discussione intavolata all\'indirizzo:
<BR>
<BR>http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... 48&forum=5.
<BR>
<BR>E tanto per non lasciarvi privi di sollazzo, rilancio subito col seguente...:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Problema</B><!-- BBCode End -->: posto P(n) := 4<sup>n</sup> + 2<sup>n</sup> + 1, provare che P(n) è primo, essendo n variabile in N, solo se n = 3<sup>k</sup>, con k intero naturale.
<BR>
<BR>
<BR>\"Siquis in hoc artem populo non novit amandi,
<BR>Hoc legat et lecto carmine doctus amet.\"
<BR>
<BR>Ovidio, <!-- BBCode Start --><I>Ars amatoria</I><!-- BBCode End -->

DB85
Messaggi: 145
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Messaggio da DB85 » 01 gen 1970, 01:33

Se n = 3^k*(3s+r), r=1,2, allora P(n) è divisibile per [2^(3^k)]^2 +2^(3^k)+1, che è sempre maggiore di 1.
<BR>
<BR>P.S.: Stavolta nn m\'ha fregato nessuno! <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 16-09-2004 15:55 ]
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Avresti certo potuto spenderci qualche parolina in più, mostrando o quantomeno sottolineando il fatto che, se q è un intero positivo primo con 3, allora: (x<sup>2</sup> + x + 1) | (x<sup>2q</sup> + x<sup>q</sup> + 1) in Z[x], ma vabbé... Rilancio!!!
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Problema</B><!-- BBCode End -->: dimostrare che, se n è in N<sub>0</sub>, allora sum[k=1...n] 1/(2k + 1) è razionale ma non intero.
<BR>
<BR>
<BR>\"Sic transit gloria mundi.\" - la Chiesa
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 17-09-2004 10:37 ]

Novecento
Messaggi: 44
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da Novecento » 01 gen 1970, 01:33

Tento: fra i numeri 2k+1 denoto con p il maggiore dei numeri primi e mettendo a denominator comune ottengo un numeratore non multiplo di p, in quanto somma di addendi di cui uno solo non multiplo di p, e un denominatore che invece presenta il fattore p...quindi la frazione non si semplifica.
<BR>
<BR>Potrebbero crearci problemi denominatori come 3p, 5p e via dicendo, ma ho sentito dire che fra n e 2n esiste sempre un primo, dunque nessun intoppo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
"Si può perdonare a qualcuno l'aver fatto qualcosa di utile purché non l'ammiri" O. Wilde

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Siano dunque lodi al postulato di Bertrand e a Novecento per la sua soluzione! Bene, non è comunque il caso di adagiarsi sugli allori, e pertanto...
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Problema</B><!-- BBCode End -->: dimostrare che, se m ed n sono numeri naturali, allora [(2m)! · (2n)!]/[m! · n! · (m+n)!] è un intero positivo.
<BR>
<BR>
<BR>\"The positive integers stand there, a continual and inevitable challenge to the curiosity of every healthy mind.\" - Godfrey Harold Hardy

Novecento
Messaggi: 44
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da Novecento » 01 gen 1970, 01:33

Mmh...questo era più infido degl\'altri (soggetttiva la cosa), in ogni caso proviamo:
<BR>
<BR>se ogni primo p compare al numeratore con un\'esponente maggiore o uguale a quello con cui si trova al denominatore si ha la tesi. Poichè la massima potenza di p che divide n! è data da sum[k=1...inf] [n/p^k] è sufficiente dimostrare che per ogni p e k è vera la seguente (naturalmente all\'aumentare di k si avranno tutti zeri):
<BR>
<BR>[2n/p^k] + [2m/p^k]>=[n/p^k] + [m/p^k] + [n/p^k + m/p^k]
<BR>
<BR>o, più in generale, per x e y razionali:
<BR>
<BR>[2x] + [2y]=[x] + [y] + [x+y]
<BR>
<BR>la quale si può dimostrare controllando i tre casi possibili
<BR>(x>s+0,5 e y>r+0,5, o entrambi minori, o tali che la somma superi r+s+1, con r e s interi non negativi)...
<BR>
<BR>Ora posso andare a dormire in pace con me stesso... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Novecento il 20-09-2004 00:06 ]
"Si può perdonare a qualcuno l'aver fatto qualcosa di utile purché non l'ammiri" O. Wilde

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-19 23:49, Novecento wrote:
<BR>Mmh<!-- BBCode Start --><B>...que</B><!-- BBCode End -->sto era più infido de<!-- BBCode Start --><B>gl\'al</B><!-- BBCode End -->tri (sogge<!-- BBCode Start --><B>ttt</B><!-- BBCode End -->iva la <!-- BBCode Start --><B>cosa</B><!-- BBCode End -->), in ogni caso proviamo:
<BR>
<BR>se ogni primo p compare al numeratore con <!-- BBCode Start --><B>un\'e</B><!-- BBCode End -->sponente maggiore o uguale a quello con cui si trova al denominatore si ha la tesi. Poi<!-- BBCode Start --><B>chè</B><!-- BBCode End --> la massima potenza di p che divide n! è data da [...].
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Dunque, a parte qualche errore orto-tipografico di troppo, direi che la tua soluzione è <!-- BBCode Start --><I>sostanzialmente</I><!-- BBCode End --> corretta! E dico \"sostanzialmente\" perché: i) la relazione da te indicata, secondo cui: [2x] + [2y] = [x] + [y] + [x + y], per ogni coppia x, y di numeri razionali positivi, andrebbe in verità riscritta, e correttamente, nella forma: [2x] + [2y] >= [x] + [y] + [x + y], ma forse quest\'inesattezza (comunque da rilevare) è imputabile ad un puro <!-- BBCode Start --><I>lapsus</I><!-- BBCode End --> di battitura; ii) la dimostrazione della relazione succitata mediante ispezione diretta dei possibili casi, per quanto funzionale, <!-- BBCode Start --><I>est très inesthétique</I><!-- BBCode End -->!
<BR>
<BR>Invito te e gli altri, pertanto, a provare la seguente relazione, che ho scoperto giust\'appunto risolvendo il problema precedente, onde così riscattare il valore delle tue pur pregevoli argomentazioni! Pummmfff, lo so... lezioso, pedante e antipatico!!! Sob...
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Problema</B><!-- BBCode End -->: mostrare che, per ogni x reale ed ogni n intero positivo: Floor(nx) = sum<sub>k=0...n-1</sub> Floor(x + k/n), ove Floor(-) denota, al solito, la funzione che ad ogni numero reale fa corrispondere la sua parte intera bassa.
<BR>
<BR>
<BR>\"Alle anime superficiali occorrono degli anni per liberarsi di un\'emozione. L\'uomo padrone di sé, al contrario, estingue un dolore con la stessa facilità con cui gli riesce d\'improvvisare una gioia.\" - Oscar Wilde

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-19 23:49, Novecento wrote:
<BR>[...] Poichè la massima potenza di p che divide n! è data da sum[k=1...inf] [n/p^k], è sufficiente dimostrare che, per ogni p e k, è vera la seguente: [...]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ah, tanto per la cronaca e in omaggio al simpatico Boll, che - così mi ha detto - ci ha sbattuto la testa durante l\'ora di filosofia, la proprietà enunciata da Novecento è un\'immediata conseguenza di un celeberrimo risultato della Teoria dei Numeri, noto sotto il nome d\'<!-- BBCode Start --><I>identità di Legendre</I><!-- BBCode End -->, la cui dimostrazione può essere ottenuta, oltre che per via <!-- BBCode Start --><I>elementare</I><!-- BBCode End -->, dalla formula d\'inversione di Möbius - di questi tempi, molto in voga - applicata alle somme dei divisori, ovvero alla convoluzione di Dirichlet, della lambda maior di Mangoldt! Come? Ah, ecco... beh, vorrà dire che mi scuserete per la mia disdicevole <!-- BBCode Start --><I>sboroneria</I><!-- BBCode End -->! Saluti...
<BR>
<BR>
<BR>\"Ho reso a Venezia qualche servigio. Lo sanno tutti. Non è di questo che voglio dire. Ma quando, nelle vostre lettere, narrerete questi eventi sciagurati, vi prego, parlate di me come io sono, non attenuate nulla, e non soggiungete alcunché per malizia. Dite d\'uno che amò dissenatamente, sì, ma che pur sempre amò con tutto il cuore.\" - William Shakespeare, <!-- BBCode Start --><I>Otello</I><!-- BBCode End --><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 20-09-2004 11:36 ]

Novecento
Messaggi: 44
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da Novecento » 01 gen 1970, 01:33

Per Castore e Polluce! Quando hai ragione, hai ragione...e che la prima volta che l\'ho modificato ho corretto proprio errori ortografici! Io lo so che la sera devo andare a letto presto, se no non rendo...beh, in effetti era anche un pò rozza (come matematico me ne dolgo) e sei anche assai rugoso (\"lezioso,pedante\",purtroppo simpatico)...a presto
<BR>
<BR>Lo lascio così, che sia di monito ai posteri... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
<BR>
<BR>EDIT:appena posso tenterò il riscatto<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Novecento il 20-09-2004 12:39 ]
"Si può perdonare a qualcuno l'aver fatto qualcosa di utile purché non l'ammiri" O. Wilde

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-20 12:35, Novecento wrote:
<BR>Per Castore e Polluce! [N.d.H.: LOOOL!!!] Quando hai ragione, hai ragione...<!-- BBCode Start --><B>e</B><!-- BBCode End --> che la prima volta che l\'ho modificato ho corretto proprio errori ortografici! Io lo so che la sera devo andare a letto presto, se no non rendo...beh, in effetti era anche un <!-- BBCode Start --><B>pò</B><!-- BBCode End --> rozza [...] e sei anche assai rugoso (\"lezioso,pedante\",purtroppo simpatico)...a presto
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Dunque, dunque... colgo l\'occasione per ripassare un attimino assieme a voi <!-- BBCode Start --><I>alcune</I><!-- BBCode End --> norme tipografiche convenzionali e regole primitive della grammatica italiana! Orbene, ecco il menù:
<BR>
<BR>i) la III voce del presente indicativo del verbo essere <!-- BBCode Start --><B>è</B><!-- BBCode End --> accentata, <!-- BBCode Start --><B>e</B><!-- BBCode End --> l\'accento volto verso sinistra (accento grave), onde distinguerla dalla forma moderna della congiunzione latina \"<!-- BBCode Start --><I>et</I><!-- BBCode End -->\";
<BR>
<BR>ii) \"<!-- BBCode Start --><I>va\' </I><!-- BBCode End -->\", \"<!-- BBCode Start --><I>da\' </I><!-- BBCode End -->\", \"<!-- BBCode Start --><I>po\' </I><!-- BBCode End -->\" e simili sono forme tronche di parole di uso corrente come \"<!-- BBCode Start --><I>vai</I><!-- BBCode End -->\", \"<!-- BBCode Start --><I>dai</I><!-- BBCode End -->\", \"<!-- BBCode Start --><I>poco</I><!-- BBCode End -->\", e in quanto tali esigono l\'apostrofo, inteso qui come segno grafico del troncamento, non già l\'accentazione;
<BR>
<BR>iii) i termini \"<!-- BBCode Start --><I>perché</I><!-- BBCode End -->\", \"<!-- BBCode Start --><I>sicché</I><!-- BBCode End -->\", \"<!-- BBCode Start --><I>senonché</I><!-- BBCode End -->\", \"<!-- BBCode Start --><I>benché</I><!-- BBCode End -->\" e analoghi richiedono la giustapposizione dell\'accento acuto (verso destra) sull\'ultima sillaba;
<BR>
<BR>iv) alcuni monosillabi pretendono l\'accento per distinguersi da altri termini omografici diversi per funzione logica e significato. Più concretamente, è questo il caso di termini del tipo: \"<!-- BBCode Start --><I>sé</I><!-- BBCode End -->\", nell\'uso di pronome personale riflessivo, e \"<!-- BBCode Start --><I>se</I><!-- BBCode End -->\", quale congiunzione a introdurre il periodo ipotetico; \"<!-- BBCode Start --><I>là</I><!-- BBCode End -->\", nel senso dell\'avverbio di luogo, e \"<!-- BBCode Start --><I>la</I><!-- BBCode End -->\", nella funzione di articolo determinativo o di sostantivo a designare la VI nota della scala musicale; e così via dicendo...;
<BR>
<BR>v) dopo ogni segno d\'interpunzione è buona educazione [gh] inserire un unico spazio tipografico, non altro fosse che per migliorare - come innegabilmente ne risulta - la leggibilità del testo e semplificare pertanto il lavoro di chi dovesse o intendesse dedicargli del tempo.
<BR>
<BR>Ah, un\'ultimissima parola, Novecento... hai presente la parte dove mi dici che sono anche, e purtroppo, simpatico? Beh, è la parte che mi piace decisamente di meno! <!-- BBCode Start --><I>Cave</I><!-- BBCode End -->, grrr...
<BR>
<BR>
<BR>\"E adessooo... l\'orchestraaa... di Demo Morselli!!!\" - la tv<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 20-09-2004 14:03 ]

Bloccato