[N] Un problema di zio Paul.

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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DB85
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Messaggio da DB85 » 01 gen 1970, 01:33

Ho fatto le manipolazioni molto velocemente e quindi plausibilmente ho commesso qualche errore, ma lascio a voi la sentenza.
<BR>La produttoria equivale a
<BR>
<BR>[4^(n)]*Bin(2n, n)*[2^(-2n)]
<BR>
<BR>ossia proprio Bin(2n, n).
<BR>
<BR>Sì, dovrebbe essere giusto, ho provato anche per induzione.
<BR>
<BR>EDIT: aggiunta verifica induttiva (e migliorata la leggibilità)
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 22-09-2004 20:21 ]
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Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Ok, bene! Eventualmente, anche senza ricorrere all\'induzione, si può osservare che, in base alle note proprietà dei fattoriali e degli emifattoriali, comunque sia scelto un n intero > 0:
<BR>
<BR>(4 - 2/1)(4 - 2/2)...(4 - 2/n) = prod<sub>k = 1...n</sub> (4 - 2/k) = prod<sub>k = 1...n</sub> 2·(2 - 1/k) =
<BR>= 2<sup>n</sup> · prod<sub>k = 1...n</sub> (2k - 1)/k = 2<sup>n</sup> · [prod<sub>k = 1...n</sub> (2k - 1)]/[prod<sub>k = 1...n</sub> k] =
<BR>=: 2<sup>n</sup> · (2n - 1)!!/n! = [2<sup>n</sup> · (2n - 1)!! · n!]/(n!)<sup>2</sup> = [(2n - 1)!! · (2n)!!]/(n!)<sup>2</sup> = (2n)!/(n!)<sup>2</sup> =: Bin(2n, n)
<BR>
<BR>ove Bin(2n, n) denota, al solito, il binomiale centrale di ordine 2n. Ora, non pare anche a voi che, al di là di ogni presunzione, il problema sia un tantinello troppo banale per il medio standard di una competizione olimpica? Bah, forse mi manca qualche dato... Vabbé, rilancio:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Problema</B><!-- BBCode End -->: determinare tutti gli n interi positivi tali che 2<sup>n-1</sup> | n!.
<BR>
<BR>
<BR>\"Questa è <!-- BBCode Start --><I>mediocrità</I><!-- BBCode End -->, quantunque ci si ostini a chiamarla <!-- BBCode Start --><I>misura</I><!-- BBCode End -->!\" - Friedrich W. Nietzsche, <!-- BBCode Start --><I>Così parlò Zaratustra</I><!-- BBCode End -->

DB85
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Messaggio da DB85 » 01 gen 1970, 01:33

Dimostriamo che la condizione di divisibilità vale per n potenza di 2. Le prime ispezioni (n = 1, 2, 4) confermano la nostra tesi. Ipotizziamo dunque che la relazione valga per n = 2^k, ossia 2^[2^(k) - 1] | [2^(k)]!. Posto n = 2^k, per ottenere [2^(k+1)]! dobbiamo moltiplicare n! per m = (n+1)*(n+2)*...*(2n). Ora usufruiamo del Lemma 1, per il quale m contiene n fattori 2, ossia è divisibile per 2^[2^(k)]. Quindi aggiungo altri 2^(k) fattori 2 al fattoriale, che per ipotesi induttiva ne contiene già 2^(k) - 1; in totale si hanno:
<BR>2^[2^(k) - 1]*2^[2^(k)] = 2^[2^(k+1) - 1], ossia 2^[2^(2n) - 1] | (2n)! .
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Lemma 1</B><!-- BBCode End -->: il prodotto (n+1)*(n+2)*...*(2n) contiene n fattori 2.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Dimostrazione</B><!-- BBCode End -->: La tesi è vera banalmente se poniamo n= 2, 3. Ipotizziamo sia vera per n e dimostriamo per induzione che risulta valida anche per n+1. Allora (n+1)*(n+2)*...*(2n) contiene n fattori 2; per ottenere (n+2)*(n+3)*...*[2(n+1)] dobbiamo moltiplicare per [(2n+1)*2(n+1)]/(n+1), ossia 2*(2n+1). Essendo 2n+1 dispari, aggiungiamo solo un fattore 2 al prodotto: esso ha quindi n+1 fattori 2. <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 25-09-2004 12:29 ]
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-23 10:02, DB85 wrote:
<BR>Dimostriamo che la condizione di divisibilità vale per n potenza di 2. Le prime ispezioni (n = 1, 2, 4) confermano la nostra tesi. Ipotizziamo dunque che la relazione valga per n = 2^k, ossia 2^[2^(k) - 1] | [2^(k)]!. Posto n = 2^k, per ottenere [2^(k+1)]! dobbiamo moltiplicare n! per m = (n+1)*(n+2)*...*(2n). [...]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>E fin qui, assolutamente nulla da eccepire!!!
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-23 10:02, DB85 continued:
<BR>[...] Ora usufruiamo del lemma (facilmente dimostrabile per induzione) che m contiene n fattori 2, ossia è divisibile per 2^[2^(k)].
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Bene, siccome è tanto facile, vorrà dire che non ci metterai troppo tempo a dimostrarlo! Attenderò <!-- BBCode Start --><I>on line</I><!-- BBCode End --> che tu abbia finito...
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-23 10:02, DB85 concluded:
<BR>Quindi aggiungo altri 2^(k) fattori 2 al fattoriale, che per ipotesi induttiva ne contiene già 2^(<!-- BBCode Start --><B>2</B><!-- BBCode End -->k) - 1: in totale si hanno 2^[2^(k) - 1]*2^[2^(k)] = 2^[2^(k+1) - 1], ossia 2^[2^(2n) - 1] | (2n)! .
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Vabbé, un errore di battitura, nulla di così grave! <!-- BBCode Start --><I>Au contraire</I><!-- BBCode End -->, grave, se non gravissimo, è il fatto che la tua analisi si sia <!-- BBCode Start --><I>limitata a verificare</I><!-- BBCode End --> che la specifica imposta dalla traccia risulta soddisfatta per tutti gli n naturali della forma n = 2<sup>k</sup>, con k \\in N, tralasciando tuttavia di considerare, e irragionevolmente, la possibilità ch\'esistano ulteriori soluzioni al problema là dove n non sia giust\'appunto una potenza esatta del 2.
<BR>
<BR>La soluzione da te suggerita, dacché molteplicemente incompleta, non è pertanto accettabile, sicché il problema deve ritenersi ancora <!-- BBCode Start --><B>IRRISOLTO</B><!-- BBCode End -->!!!
<BR>
<BR>
<BR>\"Sono stato trovato da coloro che non mi cercavano, mi sono fatto conoscere da coloro che non chiedevano di me.\" - la Bibbia, dalle <!-- BBCode Start --><I>Lettere ai Romani</I><!-- BBCode End -->

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Messaggio da DB85 » 01 gen 1970, 01:33

E\' vero, devo completare la mia dimostrazione. Intanto ho modificato il post precedente inserendovi la dimostrazione del lemma e correggendo l\'errore di battitura... Ragionando, per dimostrare che n deve essere esattamente una potenza di 2 per realizzare la condizione di divisibilità, si dovrebbe estendere il lemma precedente in tal modo:
<BR><!-- BBCode Start --><B>Lemma 2</B><!-- BBCode End -->: <!-- BBCode Start --><I>se e solo se</I><!-- BBCode End --> r è una potenza di 2 allora (n+1)*(n+2)*...*(r*n) ha esattamente (r-1)*n fattori 2.
<BR>
<BR>In tal modo, avendo supposto in principio n = 2^(k)*r dove r è dispari -ossia k è la massima potenza di 2 in n-, giungo ad una contraddizione e concludo la dimostrazione.
<BR>Ora questo procedimento dovrebbe essere corretto, ma non so se è la strada più facile: ancora devo pensare ad un metodo per dimostrare \"Lemma 2\" e non vorrei passare Sabato pomeriggio con questo chiodo conficcato tra le meningi... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>
<BR>Qualche consiglio? <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 25-09-2004 12:38 ]
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

click su modifica, guarda sotto la finestrella e spunta \"cancella questo messaggio\"
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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Messaggio da DB85 » 01 gen 1970, 01:33

Vero, non ci avevo mai fatto caso... Grazie della dritta! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>EDIT: Ho cancellato il doppione del mio reply precedente.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 25-09-2004 16:23 ]
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

@DB85: se non altro, va già meglio! In ogni caso, per quel che mi riguarda, l\'unico consiglio che posso darti è di non chiedere consigli!!! Personalmente, non ho mai concesso suggerimenti a nessuno quando si sia trattato di risolvere problemi ch\'io stesso abbia avuto a proporre: non ne ho mai dati e non intendo qui smentirmi! Pertanto, se davvero vuoi dimostrare il tuo valore, rimettiti a lavoro e finiscila di lamentarti, neppure ti fosse stato chiesto di dimostrare la congettura di Petersson... C\'è gente che ha dedicato l\'intera nottata di sabato a risolvere una certa questione di Teoria dei Numeri [...] e tu ti senti persino in diritto di lamentarti per un paio d\'ore spese apprèsso ad un problemucolo tanto miserevole? Baaah! Vergognati, piuttosto...
<BR>
<BR>
<BR>\"Devi frustare il ciuco, se vuoi che impari a faticare!\" - HiTLeuLeR

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Ah, giusto per la cronaca... La congettura di Petersson è già stata dimostrata da oltre un quarto di secolo!!! Inutile pertanto che tu ti ci metta, non finirà per meritarti gloria! Ciaaaoooooo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>
<BR>\"Veni, vidi, vici.\" - Caio Giulio Cesare<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 26-09-2004 13:45 ]

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Messaggio da DB85 » 01 gen 1970, 01:33

Quello che i miei occhi speravano di discernere tra le righe del tuo reply era una tra queste misere proposizioni:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>HiTLeuLeR</B><!-- BBCode End -->: \"Sì, è la strada giusta!\"
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><I>or</I><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>HiTLeuLeR</B><!-- BBCode End -->: \"Stai rendendo il problema più complesso di quello che è... Trova una nuova strategia.\"
<BR>
<BR>Nessuna formula magica, non il segreto alchemico che ti permette di risolvere con tanta facilità gli esercizi.
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-26 13:39, HiTLeuLeR wrote:
<BR>
<BR>[...] e tu ti senti persino in diritto di lamentarti per un paio d\'ore spese apprèsso ad un problemucolo tanto miserevole? Baaah! Vergognati, piuttosto...
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ed io che pensavo che questo forum non fosse stato creato con la funzione di una vetrina, dove esporre le proprie capacità ed esaltare le proprie conoscenze con altisonanti esclamazioni e svilire gli altri con continue e pedanti critiche. Ed io che mi ero iscritto per condividere con gli altri una passione... Mah! Che misero illuso...
<BR>
<BR>Sai, io sono il primo che minimizza i miei meriti e il primo che aumenta i miei difetti. Sono il primo a vergognarsi, in ogni occasione, e sta qui l\'incipit del miglioramento, intellettuale e non.
<BR>
<BR><< <!-- BBCode Start --><I>Ciò che contraddistingue lo scienziato è la sua umiltà intellettuale che continuamente si schernisce e minimizza, riconoscendo i propri limiti e la propria insignificanza in paragone agli equilibri universali, alle leggi della natura, persino ad un semplice cielo stellato. Il primo passo verso il progresso è riconoscere di equivalere al nulla più estremo...</I><!-- BBCode End --> >> - DB85<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 26-09-2004 14:46 ]
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Hai frainteso i miei propositi! Uhm, forse se a lato ci avessi messo una faccina... Ma sì, succede, mi sarà di scuola per il futuro! Eppure l\'autocitazione di fondo avrebbe dovuto chiarire il senso, uffa... Orbene, non era mia intenzione - ti prego di volermi credere - offendere la tua sensibilità di <!-- BBCode Start --><I>scienziato</I><!-- BBCode End -->! Piuttosto, intendevo semplicemente punzecchiarti un po\', questo lo ammetto, magari toccandoti nel vivo del tuo amor proprio, e costringerti così a tirar fuori tutte le energie necessarie per affrontare e sconfiggere al meglio questo antipatico problema! Nient\'altro...
<BR>
<BR>In quanto al resto, beh... personalmente trovo che un pizzico di sana vanità non sia mai stata di nocumento a nessuno, anzi... Se poi, in questo senso, il tuo punto di vista è diametralmente opposto, orsù... non credo, in fondo, che vi sia da questionare!!! Come dire? Evviva la diversità...
<BR>
<BR>P.S.: <!-- BBCode Start --><I>in my (not very) humble opinion</I><!-- BBCode End -->, esiste una via più breve per risolvere l\'ultimo esercizio proposto! L\'unico <!-- BBCode Start --><I>hint</I><!-- BBCode End --> che posso darti è di andare a rileggere alcuni post di un topic adiacente [dai un\'occhiata all\'indirizzo: <a href=\"http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... start=0</a>], ove si fa riferimento all\'uso d\'una certa identità, associata al nome di Legendre, piuttosto utile nella risoluzione di problemi di questo genere inerenti fattoriali, binomiali <!-- BBCode Start --><I>et similia</I><!-- BBCode End -->. Ciao...
<BR>
<BR>P.S.: se non altro, potrò <!-- BBCode Start --><I>vantarmi</I><!-- BBCode End --> di aver risvegliato in te il \"grande spirito guerriero\"! E non prendertela troppo per i giudizi della gente. In fin dei conti, non hanno molto valore! E\' più importante essere <!-- BBCode Start --><I>ottimi</I><!-- BBCode End --> per se stessi, ancorché il sistema provi uno scarso <!-- BBCode Start --><I>appeal</I><!-- BBCode End --> verso i filosofi del solipsismo autocelebrativo! <!-- BBCode Start --><I>Anyway</I><!-- BBCode End -->, se ti vuoi fidare... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>EDIT: troppi, davvero troppi errori...
<BR>
<BR>
<BR>\"Uni cuique suum.\" - Leonardo Sciascia<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 26-09-2004 18:53 ]

numerodinepero
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Messaggio da numerodinepero » 01 gen 1970, 01:33

offro birra a tutti e scherziamoci su <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: numerodinepero il 26-09-2004 16:18 ]

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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

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