[N] Un problema di zio Paul.

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Si dimostri che n+1 divide Bin(2n, n), il binomiale centrale di ordine 2n, per ogni n intero >= 0.
<BR>
<BR>
<BR>\"Perché sono belli i numeri? E\' un po\' come chiedere perché è bella la Nona di Beethoven. Se non siete voi altri a vederne il perché, nessuno potrà mai spiegarvelo. Io SO che i numeri sono belli. Se questi non lo fossero, null\'altro potrebbe esserlo.\" - Paul Erdos

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Non vale, questo l\'ho inventato io (almeno credevo)!
<BR>
<BR>Bin(2n+1, n+1) = (2n+1) Bin(2n, n) / (n+1).
<BR>Ora, siccome n+1 è primo con 2n+1, deve dividere Bin(2n, n), in quanto Bin(2n+1, n+1) è un intero.

DB85
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Messaggio da DB85 » 01 gen 1970, 01:33

I famosi \"numeri catalani\"...
<BR>
<BR>P.S.: Naturalmente sono i numeri di Catalan. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 13-09-2004 18:15 ]
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-13 04:36, MindFlyer wrote:
<BR>Non vale, questo l\'ho inventato io (almeno credevo)!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Poooooovero, che terribile scoperta... Ma suvvia, l\'idea d\'aver concepito un problema già brevettato dal fantasioso genio di zio Paul rappresenta comunque una ragione più che sufficiente per risollevarti dallo stato di depressione catatonica in cui ti sarai rigettato! Adesso, pertanto, smettila di frignare e fatti forza, su...
<BR>
<BR>Bene, anche se non si tratta di un problema di Erdos, resta pur sempre in linea con i contenuti del topic, e pertanto ritengo di poterlo proporre qui, e non altrove, senza bisogno di dover aggiungere null\'altro... sproloquio?
<BR>
<BR>PROBLEMA: si provi che, per ogni n intero > 0: Bin(2n, n) | mcm(1, 2, ..., 2n), ossia che il binomiale centrale di ordine 2n divide il minimo comune multiplo dei primi 2n interi positivi.
<BR>
<BR>
<BR>\"Non c\'è gloria nell\'essere secondi.\" - G. H. Hardy

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-13 15:20, DB85 wrote:
<BR>I famosi \"numeri catalani\"...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ehm... voglio sperare si tratti soltanto di uno scherzo! Giusto per essere fedele al mio ruolo di tritapalle, I\'d like to remark that a \"Catalan number\" is not a number coming from Catalogna, ergo un \"numero catalano\", come TU vorresti farci credere, spi-ri-to-so-ne che non sei altro! Ma più semplicemente... un \"numero di Catalan\", dal nome del celebre Matematico belga Eugene Charles Catalan, più famoso (probabilmente) per la congettura omonima secondo cui l\'unica soluzione in interi positivi della diofantea: y<sup>p</sup> = x<sup>q</sup> + 1 sarebbe espressa dalla coppia ordinata (x, y) := (2, 3) per p = 2 e q = 3. A proposito, qualcuno ha notizie circa i pronunciamenti della commissione Matematica internazionale che avrebbe dovuto esaminare la presunta dimostrazione della congettura proposta dallo svizzero Mihailescu? Sarei curioso di sapere com\'è andata poi a finire...
<BR>
<BR>EDIT: verba...
<BR>
<BR>RI-EDIT: lapsus?!
<BR>
<BR>
<BR>\"Gli dèi sopportano e permettono nei re cose che aborriscono sul cammino dei furfanti\" - Buckhurst, dalla \"Tragedia di Ferrex e Porrex\"<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 13-09-2004 19:35 ]

DB85
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Messaggio da DB85 » 01 gen 1970, 01:33

certo che scherzavo, devo mantenere alto il mio livello di banalità!
<BR>
<BR>P.S.: Cominciavo a preoccuparmi: hai impiegato troppo per accorgetene!
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-13 18:13, DB85 wrote:
<BR>[...] Cominciavo a preoccuparmi: hai impiegato troppo per accorgetene!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Dovevo decidere se colpirti di dritto o di rovescio! Ahi, quale terribile dilemma...
<BR>
<BR>
<BR>\"To be, or not to be: that is the question!\" - il principe Amleto

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Ho letto da qualche fonte abbastanza autorevole (Mathworld?) che la dimostrazione di Mihailescu funge, e prova la congettura. Bene!

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Ah, finalmente una buona notizia! Molte grazie, Mind.
<BR>
<BR>
<BR>\"Pestis eram vivus, moriens tua mors ero.\" - Martin Lutero

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Per fortuna DB85 (o chi per lui) non se n\'è avveduto... Ero già per strada quando, ripensando agli ultimi post, ho realizzato di averne scritta una di troppo! E in effetti una rapida lettura degli articoli di \"Mathworld\" mi ha confermato il terribile sospetto! La congettura di Catalan, così come dal sottoscritto formulata poco più sopra, temo sia stata dimostrata quantomeno un centinaio di anni fa, quando venne introdotta ad opera di Hilbert, Kummer, Dedekind e Kronecker, a seguito della famosa quanto pure imbarazzante millantata dimostrazione di Lamé dell\'ultimo teorema di Fermat, la teoria algebrica degli anelli a fattorizzazione unica. E in effetti, che l\'equazione diofantea: y<sup>3</sup> = x<sup>2</sup> + 1 ammetta come unica soluzione negli interi positivi la coppia (x, y) := (2, 3) è presto verificato, al prezzo di qualche tecnicismo, operando sull\'anello Z[sqrt(i)] degli interi di Gauss generati dalla radice quadrata dell\'unità immaginaria. Mi permetto pertanto di correggere gli \"errata\" contenuti nel mio penuntilo post, invitandovi ad usarmi comprensione, o quantomeno a non infierire troppo sulla mia carcassa, poscia che mi avrete massacrato!
<BR>
<BR>
<BR>\"Nessuno disposto a spezzare <!-- BBCode Start --><I>un\'arancia</I><!-- BBCode End --> in mia difesa?\" - HiTLeuLeR

DB85
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Messaggio da DB85 » 01 gen 1970, 01:33

in effetti mi sembrava una relazione (relativamente) fin troppo facile per essere una congettura indimostrata...
<BR>Te la sei cavata (stavolta).
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-13 19:43, DB85 wrote:
<BR>in effetti mi sembrava una relazione (relativamente) fin troppo facile per essere una congettura indimostrata...
<BR>Te la sei cavata (stavolta).
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>La tua profondità di pensiero mi sconcerta ogni volta di più... continua così, ché sei in pole position! E se ti resta del tempo, dedicati ai problemi e non solo alle chiacchiere. Stammi bene!
<BR>
<BR>
<BR>\"Quali note cantassero le sirene, o quale nome si fosse dato Achille quando si nascondeva fra le donne, per quanto imbarazzanti, non sono al di là di ogni possibile congettura.\" - Thomas Browne

Novecento
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Messaggio da Novecento » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-13 17:19, HiTLeuLeR wrote:
<BR>
<BR>PROBLEMA: si provi che, per ogni n intero > 0: Bin(2n, n) | mcm(1, 2, ..., 2n), ossia che il binomiale centrale di ordine 2n divide il minimo comune multiplo dei primi 2n interi positivi.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ancora tu HiT, ormai sei diventato il mio fornitore ufficiale di problemi, ho davvero toccato il fondo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Era un pò che ci tentavo, l\'illuminazione l\'ho avuta grazie alla relazione in \"L\'alchimia dei numeri\", ma non sono sicuro, vediamo:
<BR>
<BR>Mostriamo che ogni primo p presente nel binomiale con una certa potenza si trova almeno con lo stesso esponente nel m.c.m.
<BR>Al solito la massima potenza di p che divide n! è sum[k=1...inf] [n/p^k]
<BR>Visto che [2n/p^k]=[n/p^k]+[n/p^k+1/2] e che il binomiale centrale di 2n è uguale a (2n)!/n!n! abbiamo che il termine generale nella sommatoria è uguale a [n/p^k]+[n/p^k+1/2]-2[n/p^k], quest\'ultimo può essere o 0 o 1, ipotizzando che esso per ogni k sia 1 (è il caso peggiore), detto s il massimo esponente di p col quale p^s è il massimo p^k minore di n, si ha che la somma è composta da s termini uguali a uno, cioè assume valore massimo uguale a s. Del resto la massima potenza do p presente nel m.c.m. dei primi 2n numeri è (si vede subito e credo sia noto) [log(2n)] dove log è in base p, cioè [logn+log2], cioè almeno uguale a s,il che dimostra la tesi...ri-ciao
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Novecento il 21-09-2004 18:09 ]
"Si può perdonare a qualcuno l'aver fatto qualcosa di utile purché non l'ammiri" O. Wilde

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Ciao, Novecento! Dunque, adesso sono troppo stanco per sottoporre ad esame autoptico la tua soluzione: il problema analitico di metafisic mi ha veramente sfinito... Però n\'è valsa la pena, sono troppo esaltato!!! Prometto solennemente che, non appena mi sarò ripreso, non tarderai a ricevere mie notizie! Speriamo soltanto non mi tocchi bacchettarti come già in passato, gh... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>
<BR>\"Uffa! Che barba, che noia! Che noia, che barba... Non ne posso più!!! Mi hai stufato, hai capito? Mi hai stu-fa-to... Che barba, che noia! Che noia, che barba!!!\" - la tv<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 22-09-2004 00:44 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Ok, 900, sei stato promosso! Bene, rilancio subito con un problema proposto - qualche anno addietro - in occasione delle Olimpiadi ceche e slovacche:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Problema</B><!-- BBCode End -->: mostrare che, comunque fissato un n intero positivo, il prodotto P := (4 - 2/1)(4 - 2/2)(4 - 2/3)...(4 - 2/n) rappresenta sempre un numero naturale.
<BR>
<BR>Dopo averlo risolto, ditemi sinceramente che cosa ne pensate... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
<BR>
<BR>
<BR>\"Sigismondo? Sei stato nominato...\" - la tv

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