somma (che fantasia!)

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ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

esprimere in forma chiusa la somma:
<BR>
<BR>sum<sub>i=0..[n/2003]</sub> Comb(n,2003i)
<BR>
<BR>in cui [a] è la parte intera di a (ovvero il massimo intero minore od uguale ad a), e comb(a,b) è il binomiale di a su b, ovvero a!/(b!(a-b)!).

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

se a 2003 sostituiamo 3 sembra che questa formula funzioni
<BR>
<BR>[2<sup>n</sup> + (-1)<sup>n+1</sup>]/3 se n non è multiplo di 3
<BR>
<BR>[2<sup>n</sup> + (-2)<sup>k</sup>]/3 se n=3k è un multiplo di 3
<BR>
<BR>(è ancora una congettura, non l\'ho dimostrato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> )
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

gente, gente... up!
<BR>suvvia, non fatevi terrorizzare

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-11 14:20, talpuz wrote:
<BR>se a 2003 sostituiamo 3 sembra che questa formula funzioni
<BR>
<BR>[2<sup>n</sup> + (-1)<sup>n+1</sup>]/3 se n non è multiplo di 3
<BR>
<BR>[2<sup>n</sup> + (-2)<sup>k</sup>]/3 se n=3k è un multiplo di 3
<BR>
<BR>(è ancora una congettura, non l\'ho dimostrato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> )
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Questa di Talpuz è famosa. Se qualcuno di voi possiede il Larson, nel primo capitolo viene dimostrata in sei o sette modi diversi...
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.
<BR>
<BR>EDIT: Ih, ih, ih. Con questo messaggio ho la mia terza stellina. <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 16-09-2004 13:19 ]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."

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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

questo suggerimento non mi piace <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>anche perché chi vuole potrebbe trovare la soluzione che io voglio che sia trovata <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>invito quindi chi ha il larson E ha letto la soluzione che può essere adattata a questo problema a non pubblicarla, grazie <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>comunque non è la formula che volevo. anche perché trovo assai difficile adattarla al caso in cui al posto del 3 ci sia un 2003 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>comunque sia, secondo me c\'è un metodo che fa uso delle funzioni generatrici (che io non conosco), e ce n\'è uno molto più semplice.
<BR>ora, buon lavoro <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

Dunque dunque…
<BR>
<BR>Non so quanto questa possa essere considerata una soluzione del problema, visto che il calcolo si rende abbastanza improponibile al crescere di k (si veda il seguito), comunque ho trovato questa cosa:
<BR>
<BR><B>sum] C(n, ki) = (2<sup>n</sup> + 2<sup>n+1</sup>*sum[h=1 -> [(k-1)/2]](cos[(pi*h)/k])<sup>n</sup> * cos[(pi*h*n)/k])/k </B>
<BR>
<BR>nel caso particolare k=3, la formulazza sopra diventa
<BR>
<BR>sum] C(n, 3i) = (2<sup>n</sup> +2*cos[(pi*n)/3])/3
<BR>
<BR>e si può verificare che questa coincide con quella che ho postato in precedenza come congettura
<BR>
<BR>per k=2003 invece dovrebbe venire una cosa di circa 1001 termini, un po’ improponibile da computare a mano
<BR>
<BR>(non è detto comunque che la somma sopra non si possa ulteriormente semplificare)
<BR>
<BR>comunque, la cosa si dimostra più o meno così:
<BR>
<BR>sia w=cos[(2pi)/k] + i*sen[(2pi)/k] dove i è l’unità immaginaria, che soddisfa a i<sup>2</sup>=-1
<BR>
<BR>consideriamo gli sviluppi in serie
<BR>
<BR>(1+1)<sup>n</sup>=sum[j=0 -> n] C(n, j)
<BR>(1+w)<sup>n</sup>=sum[j=0 -> n] C(n, j)*w<sup>j</sup>
<BR>(1+w<sup>2</sup>)<sup>n</sup>=sum[j=0 -> n] C(n, j)*(w<sup>2</sup>)<sup>j</sup>
<BR>…
<BR>(1+w<sup>k-1</sup>)<sup>n</sup>=sum[j=0 -> n] C(n, j)*(w<sup>k-1</sup>)<sup>j</sup>
<BR>
<BR>sommando queste k relazioni membro a membro, sfruttando le identità w<sup>k</sup>=1, sum[m=0 -> k-1] w<sup>m</sup> = 0 si nota che il membro di destra è esattamente
<BR>
<BR>k * sum] C(n, ki)
<BR>
<BR>(conviene provare qualche caso particolare per convincersi di questo)
<BR>
<BR>dunque
<BR>
<BR>sum] C(n, ki) = (2<sup>n</sup> + sum[h=1 -> k-1] (1+w<sup>h</sup>)<sup>n</sup>)/k <B>(1)</B>
<BR>
<BR>ora si sotituisce w<sup>h</sup>=cos[(2*pi*h)/k] + i*sen[(2*pi*h)/k],
<BR>
<BR>1+w<sup>h</sup>=1+ cos[(2*pi*h)/k] + i*sen[(2*pi*h)/k],
<BR>=(formule di duplicazione)=2*[cos[(pi*h)/k]]<sup>2</sup> + i*2*sen[(pi*h)/k]*cos[(pi*h)/k]=
<BR>=2cos[(pi*h)/k]*(cos[(pi*h)/k]+i*sen[(pi*h)/k])
<BR>
<BR>sostituendo nella (1)
<BR>
<BR>= (2<sup>n</sup> + sum[h=1 -> k-1] (1+w<sup>h</sup>)<sup>n</sup>)/k =
<BR>= (2<sup>n</sup> + sum[h=1 -> k-1] (2cos[(pi*h)/k]*(cos[(pi*h)/k]+i*sen[(pi*h)/k])
<BR>)<sup>n</sup>)/k =
<BR>(2<sup>n</sup> + sum[h=1 -> k-1] (2cos[(pi*h)/k])<sup>n</sup>*(cos[(pi*h)/k]+i*sen[(pi*h)/k])
<BR><sup>n</sup>)/k = (de moivre) =
<BR>= (2<sup>n</sup> + sum[h=1 -> k-1] (2cos[(pi*h)/k])<sup>n</sup>*(cos[(pi*h*n)/k]+i*sen[(pi*h*n)/k]))/k
<BR>
<BR>ora basta osservare che per valori di h simmetrici rispetto a [(k-1)/2], diciamo h<sub>1</sub> e h<sub>2</sub>,
<BR>
<BR>cos[(pi*h<sub>1</sub>)/k]=cos[(pi*h<sub>2</sub>)/k]
<BR>
<BR>e sen[(pi*h<sub>1</sub>)/k]= - sen[(pi*h<sub>2</sub>)/k]
<BR>
<BR>(le radici dell’unità sono i vertici di un poligono regolare, con centro nell’origine e con l’asse reale come asse di simmetria)
<BR>
<BR>fatte queste considerazioni, si scrive la formula sopra
<BR>
<BR>è questa quella che avevi in mente, ma_go? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 17-09-2004 18:19 ]
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

diciamo che veder scritto un
<BR>
<BR>sum (1+w<sup>i</sup>)<sup>n</sup>
<BR>
<BR>mi sarebbe bastato, e sarebbe stato un po\' più elegante <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>però l\'idea è quella.
<BR>buona così.
<BR>ah, ovviamente.. si può generalizzare notevolmente la cosa...

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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Ok ok, ci ero arrivato ank\'io ma mattia mi ha battuto sul tempo (forse lui non aveva da studiare cicerone nel pomeriggio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> ).
<BR>
<BR>Se si vuole, per calcolare a<sub>n</sub>=sum (1+w<sup>i</sup>)<sup>n</sup> si può procedere iterativamente così:
<BR>
<BR>a<sub>i</sub>=2003
<BR>
<BR>con 2003>i=>0
<BR>
<BR>a<sub>2003</sub>=4006
<BR>
<BR>e poi
<BR>
<BR>a<sub>k+2003</sub>=(sum Bin(2003,i)*a<sub>i</sub>)+a<sub>k</sub>
<BR>
<BR>spero sia giusta la formula inventata sul momento... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-17 21:46, Simo_the_wolf wrote:
<BR>Ok ok, ci ero arrivato ank\'io ma mattia mi ha battuto sul tempo (forse lui non aveva da studiare cicerone nel pomeriggio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> ).
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>certo che no <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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