Disuguaglianza

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MASSO
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Messaggio da MASSO » 01 gen 1970, 01:33

dimostrare che dati tre lati di un triangolo a,b,c vale sempre la seguente:
<BR>2 < (a + b)/c + (b + c)/a + (c + a)/b - (a^3 + b^3 + c^3)/(abc) ≤ 3

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

io ti propongo la solita via, contosa ma sicura e veloce...
<BR>
<BR>a=x+y b=x+z c=y+z
<BR>
<BR>x,y,z>0 (se il triangolo non è degenere)
<BR>
<BR>l\'espressione è omogenea e simmetrica, dunque si può usare il bunching <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>non ho verificato che funzioni effettivamente, appena posso lo faccio<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 07-09-2004 18:12 ]
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fph
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Messaggio da fph » 01 gen 1970, 01:33

Talpuz, stanno diventando un po\' monotoni i tuoi messaggi...
<BR>Qualunque disuguaglianza arrivi scrivi \"viene col bunching ma non voglio fare i conti\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>--federico
<BR>
<BR>ps prova questa: x^2 (x-y) (x-z) + y^2(y-x)(y-z) + z^2(z-x)(z-y) >= 0 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
--federico
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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Ma insomma, che diavolo è \'sto \"bunching\"? A parte il buttarsi giù dai ponti legati ad un elastico...
<BR>
<BR>A me ricorda un problema di Cortona degli anni miei. Ma si assomigliano un po\' tutti.... Vallo a sapere.
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.
<BR>
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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

@talpuz
<BR>la via col bunching l\'avevo, ovviamente <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">, già provata anch\'io (la disug la proposi io a masso), ma non so se il bunching sostiene che più sale il grado più la deiiferenza è maggiore, mi spiego meglio, per il bunching
<BR>sum[sym](a<sup>3</sup>)-sum[sym](a<sup>2</sup>b)>= sum[sym](a<sup>2</sup>b)-sum[sym](abc)
<BR>???
<BR>
<BR>@marco
<BR>il bunchin dice che date due somme simmetriche di monomi dello stesso grado, è maggiore quella in cui gli esponenti sono maggirmente distribuiti (Gobbino docet)
<BR>in pratica, preso il caso di 3 monimi, presi a,b e c reali positivi:
<BR>sum[sym](a<sup>3</sup>)>= sum[sym](a<sup>2</sup>b)>= sum[sym](abc)
<BR>
<BR>EDIT: aggiunta la positività<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 08-09-2004 12:50 ]
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ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

@boll: no, infatti. lì il bunching non tiene. però tiene schur, che è un\'altra forma della cosa che ha scritto fph...
<BR>schur afferma che, per ogni reale r>0,
<BR>x<sup>r</sup>(x-y)(x-z)+y<sup>r</sup>(y-x)(y-z)+z<sup>r</sup>(z-x)(z-y) >= 0
<BR>detto ciò, per r=1, si ottiene che sum<sub>sym</sub> x³-2x²y+xyz >= 0, (se non erro, ma non sono sicuro al 100%).
<BR>
<BR>@fra, @boll: la definizione del bunching, poi... bah, è una cosa molto più fastidiosa, e credo si possa dare solo matematicamente...
<BR>se hai una somma simmetrica A di monomi della forma x<sub>i</sub><sup>ai</sup>, da confrontare con la somma B di monomi della forma x<sub>i</sub><sup>bi</sup> (i varia tra 1 ed n), allora A >= B se valgono le seguenti due condizioni:
<BR>- sum a<sub>i</sub> >= sum b<sub>i</sub> per ogni k<n,
<BR>
<BR>- sum a<sub>i</sub> = sum b<sub>i</sub><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 08-09-2004 12:13 ]

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Scusate, ma io sono zuccone.
<BR>
<BR>...er...
<BR>
<BR>Non conosco la notazione. Ma immagino stai dicendo che
<BR>2 x^3+ ... >= x^2y +... >= 6xyz ?
<BR>(somma sulle permutazioni di bla..bla..)
<BR>
<BR>...er...
<BR>
<BR>Minimo minimo manca un\'ipotesi di positività....
<BR>
<BR>...er...
<BR>
<BR>Nell\'enunciato di MG, gli esponenti sono non crescenti, I suppose.
<BR>Quindi col 4° grado, se ho capito correttamente, viene
<BR>6 <x^4> >= 2 <x^3y> >= 4 <x^2y^2> >= 12 <x^2yz> >= 24 <xyzw> ?
<BR>
<BR>E si chiama bunching? Da quando? Come si dimostra? Disuguaglianza di riarrangiamento tante volte? Non l\'avevo mai sentito (modulo il forum...)
<BR>
<BR>Bah, non si finisce mai di imparare...
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.[addsig]
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

già, manca l\'ipotesi di positività, per il bunching, e (giustamente) gli esponenti sono ordinati decrescentemente.
<BR>schur vale per tutti i non-negativi, invece.
<BR>e schur (nel caso r=1), equivale a dire che
<BR>x³+y³+z³+3xyz >= x²y+y²z+z²x+y²x+x²z+z²y.
<BR>altro?
<BR>non credo... ora manca \"solo\" la soluzione <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>ah, no, dimenticavo... per la dimostrazione, chiediamola a fph... dovrebbe avere la dispensa del kedlaya, che al riguardo è molto chiara <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

La mia soluzione:
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/abc.bmp"><!-- BBCode End -->

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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Ve ne propongo un\'altra( non so quanto facile o difficile,dipende da come
<BR>la si vuol risolvere).
<BR>Se a,b,c sono lati di un triangolo si ha:
<BR>(b<sup>2</sup>+c<sup>2</sup>-a<sup>2</sup>)/bc+(c<sup>2</sup>+a<sup>2</sup>-b<sup>2</sup>)/ca+(a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>-c<sup>2</sup>)/ab<=3
<BR>

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

La disuguaglianza mi sembra equivalente a quella a destra di masso, si arriva, moltiplicando per abc a:
<BR>a³+b³+c³+3abc >= a²b+b²c+a²c+c²a+c²b+b²a
<BR>
<BR>vera per shur, che ho appena imparato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">, quindi vale non solo per i lati di un triangolo, ma per tutti i reali non negativi e vale l\'uguaglianza se a=b=c o se uno dei tre è nullo e gli altri 2 sono uguali
<BR>
<BR>a sinistra invece, sottraendo 2 a entrambi i membri arriviamo a
<BR>(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)>0
<BR>vera per la disug triangolare<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 08-09-2004 15:26 ]
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Viva schur,dunque!

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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

o anche, b²+c²-a² = 2bc·cosA, e cicliche, da cui:
<BR>(b²+c²-a²)/bc+(c²+a²-b²)/ca+(a²+b²-c²)/ab = 2(cosA + cosB + cosC), che si verifica essere, per jensen, minore di 3... carina!
<BR>

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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Era questa la soluzione che avevo in mente!

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-08 08:59, fph wrote:
<BR>Talpuz, stanno diventando un po\' monotoni i tuoi messaggi...
<BR>Qualunque disuguaglianza arrivi scrivi \"viene col bunching ma non voglio fare i conti\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>--federico
<BR>
<BR>ps prova questa: x^2 (x-y) (x-z) + y^2(y-x)(y-z) + z^2(z-x)(z-y) >= 0 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>ehm... è colpa mia se ultimamente sono state proposte un po\' di disuguaglianze che si smontano in 2 sec con il bunching???
<BR>
<BR>(quella di masso, ad esempio, con le sostituzioni sopra è equivalente a 8xyz>0 e sum<sub>sym</sub>x<sup>2</sup>y >= sum<sub>sym</sub>xyz !! più semplice di così!)
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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