Ordine di Infinito

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NicolasBourbaki
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Messaggio da NicolasBourbaki » 01 gen 1970, 01:33

Mi scusino i cerberi vecchi e nuovi ma avrei bisogno della collaborazione degli appassionati di analisi per risolvere questo esercizio davvero impegnativo:
<BR>stimare(nel miglior modo possibile !!)l\'ordine di infinito della serie
<BR>
<BR>sum(n=0,..,+inf) (x^(2^n))
<BR>per x che tende ad 1 da sx . (n naturale)
<BR>(perdonate la barbarie matematica,ma vorrei che il testo fosse chiaro!!)
<BR>
<BR>Grazie della collaborazione e ..buon divertimento!!

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MASSO
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Messaggio da MASSO » 01 gen 1970, 01:33

Non vorrei dire una minchiata ma se x fosse uno la sommatoria darebbe infinito; visto che x è poco più piccolo mi sa che la sommatoria potrebbe convergere; nel senso che all\'aumentare di n, x^(2^n) diminuisce e appena giunge a valere 1/2 , tutti i termini successivi sommati tra loro danno quasi 1/2 e perciò la somma si stabilizza;
<BR>PS:di analisi non so quasi nulla <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

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NicolasBourbaki
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Messaggio da NicolasBourbaki » 01 gen 1970, 01:33

Beh Masso grazie per la collaborazione ma direi che non hai centrato l\'obiettivo dell\'esercizio che comunque non è di matematica olimpica bensì di analisi ed è anche abbastanza tecnico. L\'idea è che per x che tende ad 1 da sx la serie in questione diverge,ma come? Ovvero con che ordine di infinito è approssimabile ? Lo spirito dell\'esercizio è un po\' quello del problema di stimare l\'ordine di infinito della serie
<BR> sum(i=1,...,,n) (1/i) che, come è noto, conduce alla stima
<BR>ln (n) + o(n) (ed alla determinazione della costante di Eulero-Mascheroni) ,ma qui la questione è ben più impegnativa !!

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Allora, non intendo pensare a come risolvere il problema (in ogni caso non credo di essere capace), ma fammi solo capire una cosa:
<BR>temo che il problema si mal posto. Per ogni x sufficientemente vicino a 1 hai un ordine di infinito della serie, giusto? Ora, tu vuoi l\'ordine di infinito di cosa?? Non della funzione x-->sum(n=0,..,+inf) (x^(2^n)) per x-->1-, perché c\'è un intorno di 1 in cui la funzione non è definita in quanto credo che la serie diverga già prima di 1. Allora vuoi sapere a quale funzione convergono gli ordini di infinito delle serie per x-->1-? Prima di tutto, sei sicuro che convergano ad una funzione? Io ho paura di no...
<BR>
<BR>EDIT:
<BR>O se convergono, dovrebbe essere un semplice n, che dici?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 07-09-2004 17:35 ]

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Catraga
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Messaggio da Catraga » 01 gen 1970, 01:33

Io proverei a trovare una funzione che ha come serie formale di Taylor la famigerata somma (l\'esistenza di questa e\' molto probabile, dato che il comportamento della somma non e\' assimilabile a quella di un polinomio), sebbene questo sia particolarmente impegnativo... ma mi sembra che sulle tavole CRC si possa trovare un qualcosa di questo tipo. Oppure puoi cercare una somma di serie di Taylor conosciute che ti dia la formula, in questo caso stai attento al Teorema di Riemann per il riordinamento delle somme a termini infiniti...
<BR>Ci devo pensare un po\'....
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Catraga
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Messaggio da Catraga » 01 gen 1970, 01:33

Non ne sono ancora venuto fuori... comunque puoi notare che la funzione f(x) è O(1/1-x)... ma penso si possa fare di meglio...
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MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Ma Catraga, tu hai capito cosa chiede il problema? Puoi chiarire i dubbi che ho esposto sopra?
<BR>Grazie, ciau!

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Messaggio da Catraga » 01 gen 1970, 01:33

In base a quello che ho capito io, il prbolema chiede di trovare l\'ordine di infinito in un intorno sinistro di 1 della funzione:
<BR>f(k)=Limit[bruttasomma[x], x--> k, sx]
<BR>Anche se secondo me avrebbe piu\' senso calcolarlo da destra...
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Catraga
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Messaggio da Catraga » 01 gen 1970, 01:33

Anche se ripensandoci, potresti complessificare la funzione ovvero x in C, usare de Moivre e fare un po\' di conti, magari effettuare la proiezione nei reali della funzione ottenuta (Re(f)), non penso che serva la tecnica dei residui o altre amenaglie di analisi complessa..
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-09 10:31, Catraga wrote:
<BR>[...] Il prbolema chiede di trovare l\'ordine di infinito in un intorno sinistro di 1 della funzione:
<BR>f(k)=Limit[bruttasomma[x], x--> k, sx]
<BR>Anche se secondo me avrebbe piu\' senso calcolarlo da destra...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>@Catraga: temo proprio di doverti contraddire... Mediante il criterio di D\'Alambert, è immediato constatare difatti che la serie sum[n=0...+inf] x<sup>2^n</sup> è convergente là dove risulta |x|<sup>2^n</sup> < 1, ossia |x| < 1. Da qui si deduce (con una verifica del comportamento agli estremi) che la somma della serie in esame, quale funzione reale di variabile reale, resta definita solo e soltanto per |x| < 1. E un discorso sostanzialmente analogo si può naturalmente riproporre nel caso in cui x si assuma variabile in C, anziché in R. Questa considerazione esclude la possibilità che abbia un senso calcolare il limite per x --> 1+ della funzione somma, e giustifica nel contempo la fondatezza del problema proposto da Nicolas.
<BR>
<BR>@Mind: per quel che può servire... si tratta di determinare, quand\'anche possibile, un a reale positivo tale ch\'esista finito e diverso da zero il limite lim[x -->1-] s(x)/(1/|x-1|<sup>a</sup>) = lim[y --> 0+] y<sup>a</sup> * s(1 - y), avendo posto s(x) := sum[n=0...+inf] x<sup>2^n</sup>, per ogni x reale minore in modulo di 1. Si può facilmente dimostrare che, qualora esista: 0 < a <= 1. Difatti, come in parte rilevato da Catraga: 0 = lim[y --> 0+] y<sup>a</sup> * (1 - y) <= lim[y --> 0+] y<sup>a</sup> * (-y + sum[n=0..+inf] (1 - y)<sup>n</sup>) = lim[y --> 0+] y<sup>a</sup> * (-y + 1/y) = y<sup>a - 1</sup> - y<sup>a + 1</sup>, e di qui è facilmente derivata la limitazione di cui sopra ho detto. Beh, altro non zo...
<BR>
<BR>
<BR>\"Forte potuit sed non legitur eo usus fuisse\" - Pietro Cantore<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 10-09-2004 00:14 ]

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Catraga
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Messaggio da Catraga » 01 gen 1970, 01:33

In effetti ti devo dar ragione, ma comunque resta il problema: come caspita la uccidiamo la sommatoria, ho come l\'impressione che l\'oridine sia infrareale.... che non e\' una bella cosa a dirsi... e a farsi negli esercizi...
<BR>
<BR>Barare spudoratamente:
<BR>sia Pollo:[0,1[ ----> R la funzione associata alla serie che stiamo studiando, allora la serie che stiamo studiando allora la somma diverge come O(Pollo) anzi, diro\' di piu\', come Theta(Pollo)...
<BR>Ma questo non vale.... bisognerebbe sapere cosa intende per grado di approssimazione... perche\' altrimenti l\'abbiamo gia\' trovata...
<BR>
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