Questo come si fa?
<BR>
<BR>P(x) è un polinomio di grado 3n tale che
<BR>P(0) = P(3) = ... = P(3n) = 2
<BR>P(1) = P(4) = ... = P(3n - 2) = 1
<BR>P(2) = P(5) = ... = P(3n - 1) = 0
<BR>P(3n + 1) = 730.
<BR>
<BR>Trovare n.
<BR>
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algebra ...propedeutica
Moderatore: tutor
Ciao. Boh, vi vendo tre idee, nessuna delle quali sembra funzionare (che lusso!!).
<BR>
<BR>Prima idea: formula di Legendre, Lagrange, chi diavolo era?? che dà, dati k+1 l\'unico polinomio di grado <= k che ci passa. Un sacco di contazzi noiosi, ma che porta quasi sicuramente in fondo. Con un po\' di fortuna la forma delle equazioni rende i calcoli facili (ma ne dubito).
<BR>
<BR>Seconda idea: sfruttare la simmetria. Considerare qualcosa come Q(x) := P(x) + P( (3n-1) - x ) - 2. E\' di grado <= 3n (se deg P dispari, allora < 3n) e ha 3n zeri in 0, 1, ... 3n-1. Questa è l\'idea che mi sembra più promettente. Purtroppo non so bene come sfruttare la condizione residua su P(3n). Inoltre entra in ballo Q(-2) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>
<BR>Terza idea: sfruttare l\'invarianza per traslazioni. Considerare ad esempio R(x) := P(x) - P(x+3) che ha grado < 3n e 3n-2 zeri in 0,1,... Troppo pochi zeri e manca di far entrare la condizione in 3n-1 e in 3n.
<BR>
<BR>Beh, buon proseguimento.
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.
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<BR>[addsig]
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<BR>Prima idea: formula di Legendre, Lagrange, chi diavolo era?? che dà, dati k+1 l\'unico polinomio di grado <= k che ci passa. Un sacco di contazzi noiosi, ma che porta quasi sicuramente in fondo. Con un po\' di fortuna la forma delle equazioni rende i calcoli facili (ma ne dubito).
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<BR>Seconda idea: sfruttare la simmetria. Considerare qualcosa come Q(x) := P(x) + P( (3n-1) - x ) - 2. E\' di grado <= 3n (se deg P dispari, allora < 3n) e ha 3n zeri in 0, 1, ... 3n-1. Questa è l\'idea che mi sembra più promettente. Purtroppo non so bene come sfruttare la condizione residua su P(3n). Inoltre entra in ballo Q(-2) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
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<BR>Terza idea: sfruttare l\'invarianza per traslazioni. Considerare ad esempio R(x) := P(x) - P(x+3) che ha grado < 3n e 3n-2 zeri in 0,1,... Troppo pochi zeri e manca di far entrare la condizione in 3n-1 e in 3n.
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<BR>Beh, buon proseguimento.
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<BR>Ciao.
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<BR>M.
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<BR>[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
La soluzione e\' <!-- BBCode Start --><B> n=4</B><!-- BBCode End --> e si trova sulla 13th USAMO 1984.
<BR>Il procedimento che viene indicato fa riferimento a formule di Analisi discreta [forse alla formula alle differenze finite di Gregory-Newton o a qualche altra formula d\'interpolazione]. Francamente non ho verificato.
<BR>Ciao.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 07-09-2004 15:50 ]
<BR>Il procedimento che viene indicato fa riferimento a formule di Analisi discreta [forse alla formula alle differenze finite di Gregory-Newton o a qualche altra formula d\'interpolazione]. Francamente non ho verificato.
<BR>Ciao.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 07-09-2004 15:50 ]