Polinomi

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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andrea84
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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Esercizio bello ed istruttivo!
<BR>
<BR>Siano P(x) e Q(x) polinomi a coefficienti interi, supponiamo che a e a+1997 siano radici di P(x) con a intero e che Q[1998] =2000.
<BR>Dimostrare che Q(P(x))=1 non ha soluzioni intere.
<BR>
<BR>
<BR>Ciao
<BR>
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<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: andrea84 il 30-08-2004 13:15 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: andrea84 il 30-08-2004 13:16 ]
Andrea 84 alias Brend

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Perché non farlo in generale?
<BR>
<BR>Siano P(x) e Q(x) polinomi a coefficienti interi, supponiamo che a e a+2b+1 siano radici di P(x) con a e b interi e che Q(2c)=2d, per qualche c e d (interi). Dimostrare che Q(P(n)) è sempre pari per ogni intero n.

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

sappiamo che (x-y)|P(x)-P(y).
<BR>ponendo y=a e y=a+2b+1 otteniamo:
<BR>
<BR>(x-a)|P(x)
<BR>(x-a-2b-1)|P(x)
<BR>
<BR>Uno tra x-a e x-a-2b-1 è pari è quindi per ogni x naturale abbiamo che p(x) è pari
<BR>
<BR>Ora abbiamo che (P(x)-2c)|Q(P(x))-Q(2c)
<BR>
<BR>se esiste un x tale che Q(P(x)) è dispari allora anche q(p(x))-2d è dispari ma ciò è impossibile in quanto (P(x)-2c)|Q(P(x))-2d e p(x)-2c è pari poichè p(x) è sempre pari (per quanto detto prima).
<BR>
<BR>Naturalmente l\'assurdo sta nel fatto che un numero dispari non può essere diviso da un numero pari! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

cekko
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Messaggio da cekko » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-08-30 18:20, Simo_the_wolf wrote:
<BR>sappiamo che (x-y)|P(x)-P(y).
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>scusa, ma non riesco a capire perché
"...e d'un tratto capii che il pensare è per gli stupidi, mentre i cervelluti si affidano all'ispirazione e a quello che il buon Bog manda loro".
Alex, Arancia Meccanica.

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-08-30 18:28, cekko wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-08-30 18:20, Simo_the_wolf wrote:
<BR>sappiamo che (x-y)|P(x)-P(y).
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>scusa, ma non riesco a capire perché
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ciao. Questo non è difficile e quindi è alla mia portata. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR>Ogni polinomio è somma di monomi, inoltre la somma di oggetti divisibili per (x-y) è divisibile per (x-y), per cui se lo dimostro per i monomi ho fatto.
<BR>
<BR>se P(x) = a x^n, allora P(x) - P(y) = a (x-y) < un polinomio di grado n-1>
<BR>
<BR>Il polinomio tra <> si scrive esplicitamente, basta che tu conosca il prodotto notevole che porta alla differenza di due n-esime potenze. Questa formula è corretta per n>0. Infine, per monomi di grado 0 (le costanti!!) la tesi è banalmente vera: P(x) = a ==> P(x)-P(y) = 0 e qualunque numero divide 0. <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
<BR>
<BR>-----------------------
<BR>
<BR>L\'esercizio iniziale mi ricorda qualcosa (ok, lo so che poi si assomigliano tutti). Forse che è tratto dalle gare dei miei anni?? (magari Andrea che ha aperto il filo, lo sa...)
<BR>
<BR>Ciao a tutti.
<BR>
<BR>M.
<BR>[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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cekko
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Messaggio da cekko » 01 gen 1970, 01:33

la tazzina di caffè è per me.
"...e d'un tratto capii che il pensare è per gli stupidi, mentre i cervelluti si affidano all'ispirazione e a quello che il buon Bog manda loro".
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