Dagli harder di G. Carroll

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sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

http://www.people.fas.harvard.edu/~gcar ... harder.pdf
<BR>
<BR>Let RSTU be a cyclic quadrilateral with ST > RU and TU > RS. Points X € ST; Y € TU satisfy SX = RU;UY = RS. Let M be the midpoint of XY . Prove that < SMU is a right angle. (Proposed for ELMO, MOP ’99)
<BR>
<BR>
<BR>PS
<BR>non so perche\' stia fra i problemi difficili. A me non sembra. Come non mi sembra da posizione 9 l\'esercizio del giornalino n. 14.
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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Questo problema è (a mio parere ingiustamente) finito nella 4a pagina, senza lo straccio di una replica. Quindi ci riproviamo...
<BR>
<BR>UP!!
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RosalinoCellammare
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Messaggio da RosalinoCellammare » 01 gen 1970, 01:33

scusate se vado OT ma visionando tale pagina <a href=\"http://www.people.fas.harvard.edu/~gcarroll/achieve.htm\" target=\"_blank\" target=\"_new\">http://www.people.fas.harvard.edu/~gcar ... eve.htm</a>
<BR>sono rimasto così>>> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> ...questo ragazzo è davvero un genio
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: RosalinoCellammare il 06-10-2004 12:55 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: RosalinoCellammare il 06-10-2004 13:02 ]
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MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Reid Barton è meglio, anche se si fa meno pubblicità.
<BR>Comunque resta bravino anche Carroll.

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-08-26 13:18, sprmnt21 wrote:
<BR>Let RSTU be a cyclic quadrilateral with ST > RU and TU > RS. Points X € ST; Y € TU satisfy SX = RU;UY = RS. Let M be the midpoint of XY . Prove that < SMU is a right angle. (Proposed for ELMO, MOP ’99)
<BR>[...]
<BR>A me non sembra [difficile].
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>Bah, non sono così d\'accordo con Sprmnt (ma un nick con qualche vocale, no, eh??). Personalmente, ci ho messo un po\' di tempo prima di trovare il punto giusto per scardinare il problema. Beh, stimare la difficoltà di un problema è sempre arduo e alcuni fortunati mortali ricevono l\'idea giusta d\'istinto. Purtroppo, per i problemi di geometria piana, il sottoscritto non ricade in questa cerchia baciata dalla sorte. Però dalla mia parte ho una buona dose di testardaggine, ed ecco a voi, dopo qualche mese di tentativi, la soluzione. Rullo di tamburi..............
<BR>-------------------------------
<BR>Dim:<font color=white> Allora, il punto giusto da tracciare è P t.c. RSPU è un parallelogrammo. Allora i triangoli PSX e PUY sono isosceli. Andando un po\' per angoli si trova che PXY è retto. Per la precisione, si ha che S^ e U^ sono supplementari (dato che il q.latero è ciclico); RSP^ e R^ sono suppl. (coniugati interni); SPX^ e PSX^/2 sono complementari (perché SPX è iso); SPU^ = SRU^ (è un ||grammo!); relazioni analoghe con U; XPS^ + SPU^ + UPY^ + XPY^ sono un angolo giro. Fate i conti e viene XPY^ = 90°.
<BR>
<BR>Il circocentro di XPY è M (XY è un diametro!). Da ciò MP = MX = MY. Per simmetria MS è ortogonale a PX e MU lo è a PY. Ma roba ortogonale a roba ortogonale è ortogonale, cioè MS è perpendicolare a MU. </font>[]
<BR>-------------------------------
<BR>Ciao. <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
<BR>M. [addsig]
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sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-10-11 17:26, marco wrote:
<BR>
<BR>Bah, non sono così d\'accordo con Sprmnt (ma un nick con qualche vocale, no, eh??). Personalmente, ci ho messo un po\' di tempo prima di trovare il punto giusto per scardinare il problema. Beh, stimare la difficoltà di un problema è sempre arduo
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<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Per la questione del nick, sono stato costretto (come ho spiegato tempo fa in questo forum) a fare questa scelta <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">: sono tutte e sole le consonanti della via (in effetti c\'e pure il numero civico) della mia vecchia residenza.
<BR>
<BR>Per quanto rigurada il commento con cui ho accompagnato il problema proposto, riconosco che in effetti e\' un po\' una provocazione che voleva da un lato, citandolo come appartenente alla categoria degli \"harder\", stimolare l\'interesse, dall\'altro, riportando la mia opinione, dire che c\'e\' almeno un modo di risolverlo molto elementare e semplice [che e\' esattamente quello che esposto tu]. Ma sono, come te, convinto che non e\' semplice trovare soluzioni semplici: tante volte e\' questione di fortuna.
<BR>
<BR>PS
<BR>Due delle mie principali tecniche sono quelle del \"completameto della figura\" e della \"(ri)costruzione della figura\" ORIGINARIA.
<BR>
<BR>La prima euristica deriva dal mio convincimento che chi propone questo tipo di problemi (per lo piu\') parte da una figura \"completa\" (a volte dotata di simmetrie varie) e poi la mutila qua e la\' in modo da celare la \"vera\" struttura della configurazione.
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<BR>Per la seconda (che ho applicato in questo caso, giungendo al tuo punto P \"risolvente\") ho sperimentato spesso che cercare di \"costruire\" (nel senso euclideo di riga e compasso) la figura produce spesso utili indicazioni.
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