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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Start --><B>1)Si consideri la circonferenza di centro <font color=red>O</font>
<BR>e raggio <font color=red>r</font> e sia
<BR><font color=red>M</font> un punto fisso ad essa interno.Nel fascio <font color=red>f</font> di semirette di
<BR>origine <font color=red>M</font> si considerino:
<BR>a) una semiretta che intersechi la circonf. nel punto <font color=red>N</font>
<BR>b) la semiretta perpendicolare ad <font color=red>MN</font> che intersechi la crf. in <font color=red>P</font>.
<BR>Determinare il luogo del punto medio <font color=red>Q</font> di <font color=red>PN</font> al variare di <font color=red>MN</font> in <font color=red>f</font>.
<BR>
<BR>
<BR>2)Sia f una funzione cosi\' definita:
<BR><font color=red>f:R-{3}-->R</font>
<BR>Sapendo che :<font color=red>5f(x)=3f((3x+2)/(x-3))+2x+4</font>
<BR>calcolare <font color=red>f(5)+f(7)+f(9)</font>.
<BR>
<BR>
<BR>Dimostrare che:
<BR><font color=red>3(a^3+b^3+c^3)>=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)</font>
<BR>essendo a,b,c reali non negativi.
<BR></B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 21-08-2004 17:02 ]

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Provo la disuguaglianza,
<BR>
<BR>sviluppando tutto e portando a<sup>3</sup> b<sup>3</sup> c<sup>3</sup>,a sinistra otteniamo:
<BR>sum[sym](a<sup>3</sup>)>= sum[sym](a<sup>2</sup>b), che è vera per il teorema detto \"bunching\"<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 22-08-2004 10:30 ]
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Posto anche la mia soluzione che forse coincide con quella
<BR>di boll,ma non ne sono tanto sicuro(sto \"bouncing\" mi va
<BR>sempre per traverso!).
<BR>Senza perdere di generalita\' (si dice cosi\',non e\' vero?)
<BR>possiamo supporre a>=b>=c.
<BR>Ne segue:
<BR>a-b>=0 ,a^2-b^2>=0 e moltiplicando:
<BR>a^3-ab^2-ba^2+b^3>=0 da cui:
<BR>a^3+b^3>=ab^2+ba^2 ed analogamente:
<BR>b^3+c^3>=bc^2+cb^2
<BR>c^3+a^3>=ca^2+ac^2 e sommando:
<BR>2a^3+2b^3+2c^3>=ab^2+ba^2+bc^2+cb^2+ca^2+ac^2
<BR>Aggiungendo a^3+b^3+c^3:
<BR>3(a^3+b^3+c^3)=>a^3+b^3+c^3+ab^2+ba^2+bc^2+cb^2+ca^2+ac^2
<BR>Oppure:
<BR>3(a^3+b^3+c^3)=>a(a^2+b^2+c^2)+b(b^2+a^2+c^2)+c(c^2+b^2+a^2)
<BR>Ed in definitiva:
<BR>3(a^3+b^3+c^3)=>(a^2+b^2+c^2)(a+b+c).
<BR>
<BR>

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

La tua soluzione è, ovviamente <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> , più ragionata, il bunching richiede minimo sforzo e minime capacità intuitive, applichi una formula e via...
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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Per il 2° es. si puo\' notare che se si pone y=(3x+2)/(x-3)
<BR>si ha (e\' solo un esempio,beninteso!):
<BR>y(2)=-8
<BR>y[-8]=2
<BR>Oppure:
<BR>y(-4)=10/7
<BR>y(10/7)=-4
<BR>e cosi\' via.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 22-08-2004 20:44 ]

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-08-21 17:01, karl wrote:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>
<BR>Dimostrare che:
<BR><font color=red>3(a^3+b^3+c^3)>=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)</font>
<BR>essendo a,b,c reali non negativi.
<BR></B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>con cebyshev non c\'è bisogno di fare conti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>notare che in generale 3(a<sup>n</sup>+b<sup>n</sup>+b<sup>n</sup>)>=(a<sup>n-1</sup>+b<sup>n-1</sup>+c<sup>n-1</sup>)(a+b+c)
<BR>
<BR>sempre per chebyshev (le sequenze (a,b,c),(a<sup>n-1</sup>,b<sup>n-1</sup>,c<sup>n-1</sup>) sono ordinate nello stesso senso)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 22-08-2004 21:05 ]
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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Riguardo a Tchebycheff ( ..certo che questo nome non scherza
<BR>in quanto a difficolta\' di scrittura e lettura!) volevo
<BR>cortesemente sapere se tale diseguaglianza e\' valida
<BR>per qualunque esponente e per qualunque ripartizione dello stesso.
<BR>Mi spiego con un esempio:e\' valida la relazione:
<BR>3(a^5+b^5+c^5)>=(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)
<BR>con a,b,c in successione monotòna?
<BR>Da qualche prova ( numerica) che ho fatto sembrerebbe di si,ma vorrei
<BR>esserne certo.
<BR>Grazie.

Vasya
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Messaggio da Vasya » 01 gen 1970, 01:33

per il 2°: forse ho sbaglioto qualcosa, ma mi viene cosi\':
<BR><!-- BBCode Start --><B>5f(x)=3f((3x+2)/(x-3))+2x+4,</B><!-- BBCode End --> allora
<BR><!-- BBCode Start --><B>5f(5)=3f(17/2)+14</B><!-- BBCode End -->,ma
<BR><!-- BBCode Start --><B>f(17/2)=(3f(5)+21)/5</B><!-- BBCode End -->
<BR><!-- BBCode Start --><B>5f(5)=(9/5)f(5)+63/5+14</B><!-- BBCode End -->
<BR><!-- BBCode Start --><B>f(5)=133/16</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>con lo stesso procedimento abbiamo:
<BR><!-- BBCode Start --><B>f(7)=273/32</B><!-- BBCode End -->
<BR><!-- BBCode Start --><B>f(9)=151/16</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>f(5)+f(7)+f(9)=841/32</B><!-- BBCode End -->
<BR>anche se il risultato mi sembra un po\' strano. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Non ho controllato i calcoli ,ma il tuo procedimento
<BR>e\' esatto.
<BR>Ok.
<BR>

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

riguardo a chebyshev,
<BR>
<BR>date due n-uple (x<sub>1</sub>,...,x<sub>n</sub>) e (y<sub>1</sub>,...,y<sub>n</sub>) di reali ordinate allo stesso modo, vale sempre
<BR>
<BR>sumx<sub>i</sub>y<sub>i</sub> >= (1/n) * (sumx<sub>i</sub>) * (sumy<sub>i</sub>)
<BR>
<BR>(quindi la risposta alla tua domanda, karl, è sì)
<BR>
<BR>se invece le due n-uple sono ordinate in senso inverso (una in ordine crescente, l\'altra decrescente) vale la disuguaglianza inversa
<BR>
<BR>
<BR>entrambe queste cose si dimostrano utilizzando solo la disuguaglianza di riarrangiamento...se qualcuno vuole provare... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 23-08-2004 22:06 ]
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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Grazie per l\'esauriente risposta.Quanto alla dimostrazione,
<BR>ci provero\'.
<BR>A risentirci per qualche altra, interessante questione.
<BR>
<BR>

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Azz, talpuz mi hai battuto sul tempo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">, cmq posto lo stesso la mia dimostrazione col bunching (sperando sia quella giusta).
<BR>
<BR>Con il \"bunching\" si può dimostrare agevolmente che:
<BR>sum[sym](a<sup>n</sup>)>= sum[sym](a<sup>k</sup>b<sup>n-k</sup>) con k intero positivo minore di n
<BR>Questo chiude il problema di karl.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 24-08-2004 10:06 ]
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sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-08-21 17:01, karl wrote:
<BR>1)Si consideri la circonferenza di centro <font color=red>O</font>
<BR>e raggio <font color=red>r</font> e sia
<BR><font color=red>M</font> un punto fisso ad essa interno.Nel fascio <font color=red>f</font> di semirette di
<BR>origine <font color=red>M</font> si considerino:
<BR>a) una semiretta che intersechi la circonf. nel punto <font color=red>N</font>
<BR>b) la semiretta perpendicolare ad <font color=red>MN</font> che intersechi la crf. in <font color=red>P</font>.
<BR>Determinare il luogo del punto medio <font color=red>Q</font> di <font color=red>PN</font> al variare di <font color=red>MN</font> in <font color=red>f</font>.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>\"completiamo\" la figura in questo modo: siano R ed S (gli altri) punti in cui MN ed MP tagliano il cerchio c(O); siano T, U, V, X ed Y i punti medi di PR, RS, SN, NR ed SP rispettivamente.
<BR>E\' facile verificare che QTUV e OYMX sono rettangoli. Non e\' difficile provare, inoltre, che abbiano lo stesso centro(il punto comune alle diagonali) che chiamiamo Z. Questo esendo il punto medio di OM e\' fisso al variare di MN in f.
<BR>
<BR>Si puo\' provare (ma e\' un fatto abbastanza noto) che
<BR>
<BR>QZ^2 = QO^2/2 + QM^2/2 - ZO^2.
<BR>
<BR>Ma QM = QP e OQ^2 + QP^2 = r^2
<BR>
<BR>Quindi QZ^2 = r^2/2 - ZO^2 che una funzione costante dei dati.
<BR>
<BR>Pertanto Q si trova sempre alla stessa distanza da Z: cioe\' il luogo cercato e\' una circonferenza.
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-08-24 15:02, sprmnt21 wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-08-21 17:01, karl wrote:
<BR>1)Si consideri la circonferenza di centro <font color=red>O</font>
<BR>e raggio <font color=red>r</font> e sia
<BR><font color=red>M</font> un punto fisso ad essa interno.Nel fascio <font color=red>f</font> di semirette di
<BR>origine <font color=red>M</font> si considerino:
<BR>a) una semiretta che intersechi la circonf. nel punto <font color=red>N</font>
<BR>b) la semiretta perpendicolare ad <font color=red>MN</font> che intersechi la crf. in <font color=red>P</font>.
<BR>Determinare il luogo del punto medio <font color=red>Q</font> di <font color=red>PN</font> al variare di <font color=red>MN</font> in <font color=red>f</font>.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>\"completiamo\" la figura in questo modo: siano R ed S (gli altri) punti in cui MN ed MP tagliano il cerchio c(O); siano T, U, V, X ed Y i punti medi di PR, RS, SN, NR ed SP rispettivamente.
<BR>E\' facile verificare che QTUV e OYMX sono rettangoli. Non e\' difficile provare, inoltre, che abbiano lo stesso centro(il punto comune alle diagonali) che chiamiamo Z. Questo esendo il punto medio di OM e\' fisso al variare di MN in f.
<BR>
<BR>Si puo\' provare (ma e\' un fatto abbastanza noto) che
<BR>
<BR>QZ^2 = QO^2/2 + QM^2/2 - ZO^2.
<BR>
<BR>Ma QM = QP e OQ^2 + QP^2 = r^2
<BR>
<BR>Quindi QZ^2 = r^2/2 - ZO^2 che una funzione costante dei dati.
<BR>
<BR>Pertanto Q si trova sempre alla stessa distanza da Z: cioe\' il luogo cercato e\' una circonferenza.
<BR>
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>
<BR>In effetti, quelle riferite sono proprieta\' magari interessanti ma per nulla essenziali alla soluzione del problema.
<BR>
<BR>Quello che conta e\' (quasi banalmente) che OQ^2 +MQ^2 = r^2. E questo definisce semplicemente e completamente il luogo cercato: che e\' una circonferenza con centro nel punto medio di OM e raggio r^2/2 - ZO^2.
<BR>
<BR>

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Giusto.
<BR>La risposta era comunque implicita anche nella prima
<BR>tua dimostrazione.
<BR>Ciao.

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